中3 数学 図形

質問

ＡＢ＝３cm、ＡＣ＝２cmの△ＡＢＣがある。∠Ａの外角の二等分線とＢＣの延長との交点をＤとしＡＣ∦ＥＤとなるような点ＥをＡＢの延長上にとる。ＣＤ＝4cmであるとき、
(1)∠ＢＡＣの二等分線とＢＣとの交点をＦとするとき、ＢＦの長さを求めなさい。
(2)△ＡＢＦと△ＡＤＥの面積比をもっとも簡単な整数の比であらわしなさい。
以上二問です。よろしくお願いします。

回答No.3

mnakauye · ベストアンサー

こんにちは、

(1)∠ＢＡＣの二等分線とＢＣとの交点をＦとするとき、ＢＦの長さを求めなさい。

　（下の図、左上）

　　点CからAD二平行線を引き、ABとの交点を　K　とする。

　　三角形AKCは、外角の2等分から、二等辺三角形なので、ＢＫ：ＫＡ＝（ＡＢ－ＫＡ）：ＫＡ＝１：２

　よって、ＢＣ：ＣＤ＝１：２　より、ＢＣ＝２

　（下の図、左下）

　点Ｃから、ＡＦに平行線を引き、ＢＡの延長との交点を　Ｌ　とすれば、角ＦＡＤは９０度だから、
　　三角形ACＬは、二等辺三角形となる。

　　ＡＬ＝ＡＣ　だから　ＢＬ＝５ｃｍ　ゆえに　ＢＦ：ＦＣ＝ＢＡ：ＡＬ＝３：２

　　このことから　ＢＦ＝６／５　ｃｍ

(2)△ＡＢＦと△ＡＤＥの面積比をもっとも簡単な整数の比であらわしなさい。

（下の図　右　参照）

　三角形△ＡＢＦは三角形ＡＢＤと同じ高さで　底辺の比が、ＢＦ：ＢＤだから、

　　面積は　６／５：６＝１：５　・・・・・・・・(1)

　一方三角形ＡＢＤと三角形ＡＤＥは、同じ辺ＢＥの上に立つ三角形で、高さは同じ。

　だから、面積比は、底辺　ＢＡとＡＥの比になる。

　ＤＥはＡＣに平行だから

　　ＢＡ：ＡＥ＝ＢＣ：ＣＤ＝２ｃｍ：4cm＝１：２　・・・・・(2)

　(1)と(2)から、三角形ABF：三角形ADE＝１ｘ１：２ｘ５＝１：１０

以上です。

回答No.2

yyssaa

(1)∠ＢＡＣの二等分線とＢＣとの交点をＦとするとき、ＢＦの長さを求めなさい。
＞AC〃EDだから∠DAE=∠ADE、AE=ED=xとおく。
△ABC∽△EBD、AB/AC=(3+x)/x=3/2からx=6。
BE/BD=BA/BC=9/(BC+4)=3/BCよりBC=2。
角の二等分線は対辺を両辺の比で分割するので、
BF/FC=3/2、BF+FC=2からBF/(2-BF)=3/2、BF=6/5cm・・・答
(2)△ＡＢＦと△ＡＤＥの面積比をもっとも簡単な整数の比であらわしなさい。
＞△ABFの面積=△ABCの面積*(BF/BC)=△ABCの面積*(6/5)/2
={(1/2)*3*2*sin∠BAC}*3/5=(9/5)*sin∠BAC
△ADEの面積=(1/2)*AE*ED*sin∠AED=(1/2)*6^2*sin∠AED
=18*sin∠AED
∠BAC=∠AEDだからsin∠BAC=sin∠AED、よって
△ABFの面積:△ADEの面積=(9/5):18=1:10・・・答

回答No.1

ferien

＞ＡＢ＝３cm、ＡＣ＝２cmの△ＡＢＣがある。∠Ａの外角の二等分線とＢＣの延長との
＞交点をＤとしＡＣ∦ＥＤとなるような点ＥをＡＢの延長上にとる。ＣＤ＝4cmであるとき、

＞ (1)∠ＢＡＣの二等分線とＢＣとの交点をＦとするとき、ＢＦの長さを求めなさい。
∠Ａの外角の二等分線の性質から、BC＝xとおくと、
AB：AC＝BD：DCより、3：2＝(x＋4)：4　
2(x＋4)＝3×4から、x＝2　よって、BC＝2

∠ＢＡＣの二等分線の性質から、BF＝yとおくと、FC＝BC－BF＝2－y
AB：AC＝BF：FCより、3：2＝y：(2－y)
2ｙ＝3(2－y)から、ｙ＝6/5　
よって、BF＝6/5＝1.2cm

＞ (2)△ＡＢＦと△ＡＤＥの面積比をもっとも簡単な整数の比であらわしなさい。
△ABCと△EBDとで、
AC//EDより、２組の同位角が等しいから、
２つの角が等しいことより、
△ABC∽△EBD
よって、相似比＝BC：BD＝2：(2＋4)＝1：3　だから、
面積比＝△ABC：△EBD＝1^2：3^2＝1：9　より、
△EBD＝9△ABC

△ABCと△ABFで、Aを頂点と見ると高さは同じだから、
面積比は底辺の比で決まるから、
△ABC：△ABF＝BC：BF＝2：6/5＝5：3　より、
△ABF＝(3/5)△ABC

△ABCと△ABDで、Aを頂点と見ると、面積比＝底辺の比だから、
△ABC：△ABD＝BC：BD＝2：6＝1：3　より、
△ABD＝3△ABC

△AED＝△EBD－△ABD＝9△ABC－3△ABC＝6△ABC

よって、△ABF：△AED＝(3/5)△ABC：6△ABC＝(3/5)：6＝1：10

AC//EDだったら、このようになると思います。
（ＡＣ∦ＥＤだったら、Eの位置が決まらないと思います。）

問題を確認してみてください。

お礼

角の２等分線の定理の事をしりませんでした。今回わかりました。ありがとうございました。スッキリしました。