直角二等辺三角形を用いた平面図形の証明問題

質問

⊿ABCを∠A=90°、AB=ACとなるような直角二等辺三角形とする。辺AB、AC上に点D,Eをそれぞれ
AD=2BD、CE=2AEとなるようにとると、∠ADE=∠EBCとなることを示せ。
という問題がわかりません。
点EからBCに平行な直線を引いて考えればいいのかなと思ったのですが、そこで行き詰ってしまって…
よろしくお願いします。

回答No.2

slipsleep · ベストアンサー

No.1でgohtrawさんが回答されていますが一応

三角形の相似条件を利用した問題です。

・三角形ABCについて、AC＝AB＝αとおくと、
　三平方の定理よりBC^2＝AC^2＋AB^2
　　　　　　　　　　 ＝α^2＋α^2
　　　　　　　　　　　 ＝2×α^2
　　　　　　　　　　 BC＝α×√2
　　　　　　　　　　 AD＝α×2/3
　　　　　　　　　　 AE＝α×1/3
　　　　　　　　　　 CE＝α×2/3

・点EからBC上に垂線を下ろし、その交点をFとする。
　この時、∠ECF＝４５°、∠CFE＝９０°なので、∠FEC＝∠ECF＝４５°
　したがって三角形CEFは直角二等辺三角形。
　CE＝α×2/3なので、
　CE^2＝α^2×4/9
　　　 ＝CF^2＋FE^2
　　　 ＝2×FE^2（←二等辺三角形なのでCF＝FE）
　2×FE^2＝α^2×4/9
両辺を2で割って、FE^2＝α^2×2/9
FE＝α×√2×1/3＝CF

・BFの長さはBC-CFなので、
　BF＝(α×√2)－(α×√2×1/3)
　　 ＝α×√2（3/3-1/3）
　　 ＝α×√2×2/3

・三角形ADEについて、
　AD:AE＝α×2/3:α×1/3
　　　 ＝2:1
　∠DAE＝90°

・三角形FBEについて、
　FB:FE＝α×√2×2/3:α×√2×1/3
　　　　＝2:1
　∠BFE＝90°

・三角形ADEと三角形FBEは、
　(1)二辺の比が等しく
　(2)その二辺の間の∠の大きさが等しい
　ので、この二つの三角形は相似であることが分かる。
　相似である三角形の三つの∠は等しいので、
　∠ADE＝∠FBE
　∠FBEは三角形EBCの∠EBCと共通なので、
　∠ADE＝∠EBC（←ゴール！）

ということです。
もっとスマートな方法があるかはわかりませんが……
（そしてこうした質問への回答は初めてですので、見おとしはともかく入力ミスがあったら本当にごめんなさい；）

お礼

お礼が遅くなってしまいすみません。
とてもわかりやすく丁寧に書いてくださったこちらの方をベストアンサーにしたいと思います。

回答No.1

gohtraw

ＥからＢＣに垂線を引き、ＢＣとの交点をＦとします。
ＡＣの長さをｄとすると、ＥＣの長さは２ｄ／３であり、
△ＣＥＦが直角二等辺三角形であることから
ＣＦの長さはｄ＊√２／３です。ＥＦもこれと
同じ長さです。

一方ＢＣの長さはｄ＊√２なので、ＢＦの長さは
ｄ*√２－ｄ＊√２／３＝ｄ＊２√２／３
となり、
ＥＦ：ＢＦ＝１：２です。

ＡＥ：ＡＤも同じく１：２なので、∠ＡＤＥ＝∠ＥＢＣ
となります。