高校入試・平面図形の問題【２】

質問

次の問題が分かりません。分かりやすく教えてください。

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【１】下の図で、3点A、B、Cは円Oの周上にあり、△ABCはAB=ACの二等辺三角形である。弧AC上に点Dをとり、線分BD上に、BE=CDとなるように点Eをとる。このとき次の問いに答えなさい。

[問1]　AB=5cm, AE=BC=4cmのとき　EDの長さを求めよ。

[問2]　2つの線分AC、BDの交点をFとする。[問1]のとき、△BCFと△DCFの面積の比を求めよ。

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よろしくお願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

（１）△ＡＢＥとＡＣＤに注目します。
問題の設定よりＢＥ＝ＣＤ、ＡＢ＝ＡＣ
∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＤ（いずれもＡＤに対する円周角だから）
なので、二つの三角形は合同です。よってＤＡ＝ＥＡ＝４ｃｍとなり、△ＡＥＤは二等辺三角形です。

さらに∠ＡＤＢと∠ＡＣＢはいずれもＡＢに対する円周角なのでひとしくなります。よって△ＡＢＣとＡＥＤに注目するといずれも二等辺三角形で∠ＡＣＢと∠ＡＤＥは等しいので両者は相似形です。対応する辺の長さの比はＡＢ：ＡＥ＝５：４なので、ＥＤの長さはＢＣの長さ＊４／５となります。

（２）△ＤＡＢと△ＣＢＡに着目すると、
∠ＢＤＡ＝∠ＡＣＢ（いずれもＡＢに対する円周角なので）
∠ＤＡＢ＝∠ＡＢＤ（いずれも長さ４ｃｍの弧に対する円周角なので）
ＡＤ＝ＢＣ
なので二つの三角形は合同です。よってＢＤの長さは５ｃｍで、ＥＤの長さは１６／５ｃｍ（前問より）なのでＢＥ＝ＣＤ＝９／５ｃｍとなります。
ここで△ＤＣＦに着目すると、∠ＤＣＦと∠ＦＤＣはいずれも長さ４ｃｍの弧に対する円周角なので二つの角は等しく、かつ∠ＦＡＢ、∠ＦＢＡとも等しくなります。よって△ＦＡＢと△ＦＣＤは二つの角が等しいので相似形であり、対応する辺の長さはＡＢ：ＣＤ＝５：９／５です。よってＢＦとＦＤの長さの比も５：９／５になるので、△ＢＣＦとＤＣＦの面積の比も５：９／５＝２５：９です。

お礼

なるほど・・・。ありがとうございます＾＾