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平面図形の問題です!!
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>3辺の長さが AB=7、BC=5、CA=3√6である三角形ABCにおいて、 >辺ACを直径とする円が辺AB、BCと交わる点を >それぞれD、Eとし、CDとAEの交点をFとするとき、 ACを直径とする円を描くと、AC上の円周角だから、角ADC=角AEC=90度 よって、△ADCと△AECと△CBDと△ABEは直角三角形 △AECと△ABEとで、BE=xとおくと、EC=5-x 三平方の定理より、 AE^2=7^2-x^2=(3√6)^2-(5-x)^2より、 10x=20より、x=2,5-x=3 AE^2=7^2-2^2=45より、AE=3√5 よって、BE:EC=2:3……(1) △ADCと△CBDとで、BD=yとおくと、DA=7-y 同様に CD^2=5^2-y^2=(3√6)^2-(7-y)^2より、 14y=20より、y=10/7,7-y=39/7 AD:DB=39/7:10/7=39:10 ……(2) ABベクトル,ACベクトルを考えると、 (1)より、 ベクトルAE=(3/5)AB+(2/5)AC A,F,Eは一直線上にあるから、 AF=sAEとおける AF=(3/5)sAB+(2/5)sAC ……(3) (2)より、 ベクトルCD=(39/49)CB+(10/49)CA =(39/49)(AB-AC)-(10/49)AC =(39/49)AB-AC C,F,Dは一直線上にあるから、 CF=tCDとおける CF=(39/49)tAB-tAC AF-AC=(39/49)tAB-tAC AF=(39/49)tAB+(1-t)AC ……(4) (3)(4)より、係数比較すると、 (3/5)s=(39/49)t,(2/5)s=1-t 連立で解くと、s=13/15,t=49/75 AF=(13/15)AEより、AF:AE=13:15だから、 AE:FE=15:2 FE=(2/15)×AE=(2/15)×3√5=2√5/5 △FBEは直角三角形だから、三平方の定理より、 BF^2=BE^2+FE^2 =2^2+(2√5/5)^2 =120/25 よって、BF=2√30/5 どうでしょうか?図を描いて考えて下さい。
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- 回答No.3
- yyssaa
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AB⊥CD,AE⊥BC(半円周の円周角による) △ABE,△ACEでBE=xとすると AE^2=7^2-x^2=(3√6)^2-(5-x)^2(三平方の定理) 49-x^2=54-25+10x-x^2 10x=20 x=2 AE=√(7^2-2^2)=√45=3√5 ∠BAE=∠DCE(円弧DEの円周角) よって△ABE∽△ECFからAE/BE=CE/EF EF=CE*BE/AE=(5-2)*2/(3√5)=2/√5 BF=√(BE^2+EF^2)=√{2^2+(2/√5)^2}=√(4+4/5) =2√(6/5)=(2√30)/5・・・答え
- 回答No.1
- gohtraw
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ACを直径とする円は△ADCおよびAECの外接円です。ACが直径なのだから、∠ADCおよびAECは直角です。ということはFは△ABCの垂心ということになります。あとは下記をご参照下さい。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9E%82%E5%BF%83
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