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図形と方程式の問題です。教えて下さい!

三角形ABCがあり、AB=8、AC=5、∠A=60°である。 3つの辺BC,CA,ABとそれぞれ点D,E,Fで接する円の中心をIとする。 線分AEの長さを求めよ。また三角形ABCの外接円の中心Oとする。 線分OIの長さを求めよ。 IEの長さは分かったのですが、このあとのAEとOIの長さの求め方 が分かりません。教えて下さい。

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図を添付しました。 △ABCの面積をSとすると S=AB*ACsinA/2=8*5sin60°/2=10√3 BC^2=AB^2+AC^2-2AB*ACcos60°=64+25-40=49 BC=7 外接円、内接円の半径をそれぞれR,rとおく。 正弦定理を適用 2R=BC/sinA=7/(√3/2)=14/√3 R=AO=BO=CO=7/√3 s=(AB+BC+AC)/2=(8+7+5)/2=10とおくと S=srより r=S/s=10√3/10=√3 ∠IAE=∠IAF=(1/2)∠BAC=60°/2=30° AE=EI/tan∠IAE=r/tan30°=√3/(1/√3)=3 AI=r/sin30°=√3/(1/2)=2√3 Oから辺ABに下ろした垂線の足をHとする。 cos∠OAH=AH/R=4/(7/√3)=4√3/7,sin∠OAH=√(1-(48/49))=1/7 cos∠OAI=cos(∠IAH-∠OAH)=cos(30°-∠OAH)=cos30°cos∠OAH +sin30°sin∠OAH =(√3/2)(4√3/7)+(1/2)(1/7)=13/14 △OAIに余弦定理を適用して OI^2=AI^2+AO^2-2AI*AOcos∠OAI =12+(49/3)-2*2√3*(7/√3)(13/14)=7/3 OI=√(7/3)=(√21)/3

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  • 回答No.1
  • gohtraw
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余弦定理を使うとBCの長さが判ります。次に AEの長さ(AFの長さ)をa ECの長さ(CDの長さ)をb DBの長さ(BFの長さ)をc とすると a+b=5 b+c=7 c+a=8 これを解くとAEの長さが判ります。 次に、正弦定理を使うと外接円の半径rが判ります。点OはACの垂直二等分線上にあり、ACからrの距離にあります。・・・(あ) 一方点IはEを通るACの垂線上にあり、IEの長さは判っていますね?・・・(い) (あ)と(い)を図にしてみるとOIの長さが判りますよ。

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