図形についての問題を教えてください。

質問

三角形ABCがあり、AB=５、BC=６、cosA＝１/８である。

(１)sinAの値を求めてください。また、三角形ABCの外接円の半径を求めてください。
(２)辺ACの長さを求めてください。
(３)辺Aから直線BCに垂線を引き、交点をHとするとき、線分AHの長さを求めてください。
また、三角形ABCの外接円の中心をO,直線AOと直線BCの交点をDとするとき。OD/ADの値を求める問題を解いてみると、
(１)sin(二乗)A＋cos(二乗)A=1より
sin(二乗)A＝1-(1/8)(二乗）
＝1-1/64
＝63/64
　sinA>0より
　　　sinA＝3√7/8
外接円の半径をRとする、
　　　　2R＝a/sinA
2R＝6/3√７/8
R＝6÷(2×3√７/8)
＝6÷6√7/8
＝8/√７
　　　　　＝８√７/7
(2)余弦定理より
　AC(二乗)＝BC(二乗)＋AB(二乗)－２×BC×AB×cosA
＝６(二乗)＋５(二乗)－２×６×５×1/8
＝３６＋２５－３０
　　　　　＝４
　　AC＞０より
　　　　AC＝２まではなんとかできたのですが、ここから解らないので教えてもらえませんか？
　途中式も含めてわかりやすく教えてください。

回答No.1

himajin100000 · ベストアンサー

>＝３６＋２５－３０　＝４
明らかにおかしいのは
★公式を勘違いしている。
から
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%AE%9A%E7%90%86
AC^2 = BC^2 + AB^2- 2 * BC * AB * cosB
BC^2 = AC^2 + AB^2 － 2 * AC * AB * cosA
が正しい。

6^2 = x^2 + 5^2 - 2 * x * 5 * 1/8
8 * 6^2 = 8x^2 + 8 * 5^2 - 2 * x * 5
8x^2 + 8 * 5^2 - 2 * x * 5 = 8 * 6^2
8x^2 + 8 * 5^2 - 2 * x * 5 - 8 * 6^2 = 0
8x^2 - 10x - 8 * (25 - 36) = 0
8x^2 - 10x - 88 = 0
4x^2 - 5x - 44 = 0
たすきがけ
(4x + 11 )(x - 4) = 0

x > 0より
x = 4

(3)
仮定より
BH + HC = BC = 6・・・式1
△ABHと△ACHについて
三平方の定理から
BH^2 + AH^2 = AB^2 = 5^2 = 25・・・式2
HC^2 + AH^2 = AC^2 = 4^2 = 16・・・式3

式1,式3より
(6 - BH)^2 + AH^2 = 4^2 = 16
BH^2 - 12BH + 36 + AH^2 = 4^2 = 16
BH^2 - 12BH + 36 + AH^2 = 4^2 = 16
BH^2 + AH^2 = 12BH - 20・・・式4

式1,式4より

12BH - 20 = 25

BH = 45/12 = 15/4

式2に代入して
(15/4)^2 + AH^2 = 25
225/16 + AH^2 = 25
225/16 + AH^2 = 400/16
AH^2 = 175/16

AH > 0より
AH = 5√7/√4 = 5√7 / 2

回答No.3

debut

(3)
△ＡＢＣ の面積は、(1/2)×(AB)×(AC)×sinA　より
(1/2)×５×４×(3√7/8)＝15√7/4です。
また、この面積は底辺をBC、高さをAHとみたときの面積
(1/2)×底辺×高さ＝(1/2)×6×AH=3AHと等しくなります。
よって、3AH=15√7/4から、AH=5√7/4。

OからBC に引いた垂線をOPとすると、OD/ADを求めることは、
△ADH∽△ODPだから、その相似比を求めることと同じになります。
そこで、OPの長さを求めます。
これは、上と同じようにして△OBC の面積を求めることで導く
とよいと思います。
△OBC の面積
　・OC ＝OB＝8√7/7で、∠BOC =2∠A　(円周角は中心角の1/2より)
　　よって、面積は
　　　(1/2)×(8√7/7)×(8√7/7)×sin(2∠A)
　　　=(1/2)×(8√7/7)^2×{2sin(∠A)cos(∠A)}　（２倍角の定理）
　　　=(1/2)×(8√7/7)^2×2×(3√7/8)×(1/8)
　　　=3√7/7　・・(ア)
　・一方、底辺をBC 、高さをOP と見たときの面積は
　　(1/2)×6×OP=3OP　・・(イ)
　(ア)=(イ)から、　OP=√7/7
これらから、
　OD/AD=OP/AH=(√7/7)/(5√7/4)＝４/35　と求められます。

不明点があれば補足質問をしてください。
また、他に簡単な方法があるかもしれません。

回答No.2

himajin100000

間違えた

AH^2 = 175/16

AH > 0より
AH = 5√7/4 = 5√7 / 4

です。