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数学の問題

三角形ABCにおいてAB=4、BC=6、CA=5とする cosAは(    )である sinAは(   )である 三角形の面積は、(   )である。 これより、三角形の内接円の半径Rとすると、R=(   )である。 内接円と辺ABとの接点DとするとAD=(   )である。 同様に内接円と辺ACとの交点をEとする。 △ADEと面積は、△ABCの面積の(    )倍である。 内接円の中心をOとする。直線COと辺ABとの交点をP、直線BOと辺ACとの交点をQとすると、 △APQの面積は、△ABCの面積の(    )倍である。 この問題の穴に入る答えをわかりやすく教えて下さい。 できれば、計算の過程のお願いします

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No.1です。 ANo.1の補足の質問の回答 >ひとつ聞きたいことがあります。 >AD*tan(A/2)=R=(√7)/2 >これは、なにかの公式ですか? 公式でもなんでもありません。 三角関数のtan(タンジェント)の定義の式を使ってるだけです。 添付図を見てください。 AD(AB)は内接円Oの接線ですから半径ODと接線ADは直角になります。 つまり、△OADは直角三角形です。 また△OAD≡△OAEなので ∠OAD=∠OAE=(∠A)/2 tanの定義から tan(A/2)=tan(∠OAD) ←図の赤丸の角(AOは∠Aの2等分線)  =OD/AD ←ODは内接円の半径R  =R/AD これから  AD*tan(A/2)=R お分かりになりましたか?

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  • 回答No.1
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>三角形ABCにおいてAB=4、BC=6、CA=5とする 余弦定理より cosA=(4^2+5^2-6^2)/(2*4*5)=1/8 >cosAは( 1/8 )である sinA=√(1-(1/8)^2)=3√7/8 >sinAは( 3√7/8 )である 三角形ABCの面積S=(1/2)AB*CA*sinA=(1/2)4*5*(3√7/8)=15√7/4 >三角形ABCの面積は、( 15√7/4 )である。 S=R(AB+BC+CA)/2=R(4+6+5)/2=(15/2)R R=(2/15)S=(2/15)(15√7/4)=(√7)/2 >これより、三角形の内接円の半径Rとすると、R=( (√7)/2 )である。 AD*tan(A/2)=R=(√7)/2 (tan(A/2))^2=(sin(A/2))^2/(cos(A/2))^2=(1-cosA)/(1+cosA) =(1-(1/8))/(1+(1/8))=7/9 0<A/2<90°より tan(A/2)>0 tan(A/2)=√7/3 AD*(√7/3)=(√7)/2 ∴AD=3/2 >内接円と辺ABとの接点DとするとAD=( 3/2 )である。 >同様に内接円と辺ACとの交点をEとする。 △ACO≡△ADO(Oは内接円の中心)より AE=AD=3/2 △ADEの面積=(1/2)AD*AE*sinA=(1/2)*(3/2)*(3/2)*(3√7/8)=27(√7)/64 △ABC=15√7/4 より △ADE/△ABC=(27/64)/(15/4)=9/80 >△ADEの面積は、△ABCの面積の( 9/80 )倍である。 >内接円の中心をOとする。直線COと辺ABとの交点をP、直線BOと辺ACとの交点をQとすると、 角の2等分線定理より AP:PB=CA:BC=5:6 ∴AP:AB=5:(5+6)=5:11 AQ:QC=AB:BC=4:6=2:3 ∴AQ:AC=2:(2+3)=2:5 △APQの面積=△ABQの面積*(AP/AB)=(5/11)△ABQの面積 =(5/11)△ABCの面積*(AQ/AC)=(5/11)(2/5)△ABCの面積 =(2/11)△ABCの面積 >△APQの面積は、△ABCの面積の( 2/11 )倍である。 #計算が間違っているかもしれないので、自身で計算して確認してみてください。

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質問者からのお礼

ざかりやすく丁寧に教えて頂いてありがとうございます。 ひとつ聞きたいことがあります。 AD*tan(A/2)=R=(√7)/2 これは、なにかの公式ですか? わかりやすく説明をお願いします。

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