高校入試・平面図形の問題

質問

次の問題がよくわかりません。詳しく、分かりやすく教えてください。

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【１】下の図で、△ABCの３つの辺に接する円の中心をOとし、点Oを通り辺BCに平行な直線と辺AB、辺ACとの交点をそれぞれD、Eとする。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）AB=4cm, BC=5cm, AC=3cm, ∠BAC=90°のときの、点Oの半径を求めなさい。

（２）AB=5cm, BC=6cm, AC=4cm　のとき、線分DOの長さと線分EOの長さの差を求めなさい。

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よろしくお願いします。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

(1)
点Oから辺AB,BC,CAに下ろした垂線の足をP,Q,Rとして、
AP=AR=a
BP=BQ=b
CQ=CR=c
とすると、
a+b=4
b+c=5
c+a=3
となるので、これを解くと、
a=1
となります。
四角形APORは正方形ですから、円Oの半径も1となります。

(2)
直線AOと辺BCとの交点をFとすると、
角の二等分線の性質より、
BF：CF=AB：AC=5：4
BF=6×5/9=10/3

また、直線BOも∠Bの二等分線なので、
AO：FO=AB：BF=5：10/3=3：2
直線DEは辺BCと平行なので、
DO：BF=AO：AF=3：5
DO=10/3×3/5=2

DO：EO=BF：CF=5：4
EO=2×4/5=8/5
よって、DOとEOの差は、2/5

お礼

なるほど・・・。分かりやすいです。ありがとうございました＾＾

回答No.5

tomokoich

NO3です。失礼しました・・
(2)は辺の長さが違う別問題でしたね。この場合はNO2さんのおっしゃるように角二等分線の性質を使って辺の比で解くしかないですね・・
ご指摘有難うございました。

回答No.4

nag0720

＃１さん＃３さんとも勘違いしてますね。

(2)は(1)とは別問題（条件が違う）なので(1)の結果は使えません。

回答No.3

tomokoich

(1)△ABCの面積=3×4×(1/2)=6cm2
点OからAB,BC,CAに垂線を下ろすとそれぞれの垂線の足と点Oの距離は円Oの半径なので半径rとすると
△OABの面積=4×r×(1/2)=2rcm2
△OBCの面積=5×r×(1/2)=2.5rcm2
△OCAの面積=3×r×(1/2)=1.5rcm2
△ABC=△OAB+△OBC+△OCA
6=2r+2.5r+1.5r=6r
r=1cm

(2)点OからAB,ACに垂線を下ろしその足をP,Qとすると
△PDOと△ABCは
∠PDO=∠ABC（平行線の同位角)
∠OPD=∠CAB=90°
3つの角が等しいので相似
BC:DO=AC:OP(=r)
6:DO=4:1
4DO=6
DO=1.5cm

同じように△QOEと△ABCも相似
BC:EO=AB:OQ(=r)
6:EO=5:1
5EO=6
EO=1.2cm

DO-EO=1.5-1.2=0.3cm

お礼

回答してくださってありがとうございます。

回答No.1

gohtraw

△ＡＢＣの面積を考えます。∠ＢＡＣ＝９０°なので、△ＡＢＣの面積はＡＢ＊ＡＣ／２で求められます。一方、ＯからＡＢ、ＢＣ、ＣＡに垂線を下ろすとその足は△ＡＢＣと円の接点に一致し、垂線の長さは円の半径と同じです。従って△ＡＢＣの面積は（円の半径をｒとして）
ＡＢ＊ｒ／２＋ＢＣ＊ｒ／２＋ＣＡ＊ｒ／２
と表されます。よって
ＡＢ＊ｒ／２＋ＢＣ＊ｒ／２＋ＣＡ＊ｒ／２＝ＡＢ＊ＡＣ／２
であり、これを解くとｒが判ります。

ＯからＡＢ、ＣＡに垂線を下ろし、その足をＰ、Ｑとします。すると△ＰＯＥと△ＡＢＣは相似で
ＯＥ：ＢＣ＝ＰＯ：ＡＢ＝ｒ：ＡＢ　（ｒは上記で求めた円の半径）
です。同様に△ＱＤＯと△ＡＢＣも相似で、
ＤＯ：ＢＣ＝ＯＱ：ＣＡ＝ｒ：ＣＡ
です。上記で求めたｒも含めて数値を代入すればＤＯ、ＥＯの長さが判ります。

お礼

ありがとうございました＾＾