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高校入試・平面図形の問題

次の問題がよくわかりません。詳しく、分かりやすく教えてください。 //////////////////////////////////////////////////////////// 【1】下の図で、△ABCの3つの辺に接する円の中心をOとし、点Oを通り辺BCに平行な直線と辺AB、辺ACとの交点をそれぞれD、Eとする。このとき、次の問いに答えなさい。 (1)AB=4cm, BC=5cm, AC=3cm, ∠BAC=90°のときの、点Oの半径を求めなさい。 (2)AB=5cm, BC=6cm, AC=4cm のとき、線分DOの長さと線分EOの長さの差を求めなさい。 //////////////////////////////////////////////////////////// よろしくお願いします。

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  • 回答No.2
  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)

(1) 点Oから辺AB,BC,CAに下ろした垂線の足をP,Q,Rとして、 AP=AR=a BP=BQ=b CQ=CR=c とすると、 a+b=4 b+c=5 c+a=3 となるので、これを解くと、 a=1 となります。 四角形APORは正方形ですから、円Oの半径も1となります。 (2) 直線AOと辺BCとの交点をFとすると、 角の二等分線の性質より、 BF:CF=AB:AC=5:4 BF=6×5/9=10/3 また、直線BOも∠Bの二等分線なので、 AO:FO=AB:BF=5:10/3=3:2 直線DEは辺BCと平行なので、 DO:BF=AO:AF=3:5 DO=10/3×3/5=2 DO:EO=BF:CF=5:4 EO=2×4/5=8/5 よって、DOとEOの差は、2/5

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質問者からのお礼

なるほど・・・。分かりやすいです。ありがとうございました^^

その他の回答 (4)

  • 回答No.5

NO3です。失礼しました・・ (2)は辺の長さが違う別問題でしたね。この場合はNO2さんのおっしゃるように角二等分線の性質を使って辺の比で解くしかないですね・・ ご指摘有難うございました。

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  • 回答No.4
  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)

#1さん#3さんとも勘違いしてますね。 (2)は(1)とは別問題(条件が違う)なので(1)の結果は使えません。

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  • 回答No.3

(1)△ABCの面積=3×4×(1/2)=6cm2 点OからAB,BC,CAに垂線を下ろすとそれぞれの垂線の足と点Oの距離は円Oの半径なので半径rとすると △OABの面積=4×r×(1/2)=2rcm2 △OBCの面積=5×r×(1/2)=2.5rcm2 △OCAの面積=3×r×(1/2)=1.5rcm2 △ABC=△OAB+△OBC+△OCA 6=2r+2.5r+1.5r=6r r=1cm (2)点OからAB,ACに垂線を下ろしその足をP,Qとすると △PDOと△ABCは ∠PDO=∠ABC(平行線の同位角) ∠OPD=∠CAB=90° 3つの角が等しいので相似 BC:DO=AC:OP(=r) 6:DO=4:1 4DO=6 DO=1.5cm 同じように△QOEと△ABCも相似 BC:EO=AB:OQ(=r) 6:EO=5:1 5EO=6 EO=1.2cm DO-EO=1.5-1.2=0.3cm

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質問者からのお礼

回答してくださってありがとうございます。

  • 回答No.1
  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)

△ABCの面積を考えます。∠BAC=90°なので、△ABCの面積はAB*AC/2で求められます。一方、OからAB、BC、CAに垂線を下ろすとその足は△ABCと円の接点に一致し、垂線の長さは円の半径と同じです。従って△ABCの面積は(円の半径をrとして) AB*r/2+BC*r/2+CA*r/2 と表されます。よって AB*r/2+BC*r/2+CA*r/2=AB*AC/2 であり、これを解くとrが判ります。 OからAB、CAに垂線を下ろし、その足をP、Qとします。すると△POEと△ABCは相似で OE:BC=PO:AB=r:AB (rは上記で求めた円の半径) です。同様に△QDOと△ABCも相似で、 DO:BC=OQ:CA=r:CA です。上記で求めたrも含めて数値を代入すればDO、EOの長さが判ります。

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質問者からのお礼

ありがとうございました^^

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