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  • 困ってます

数Iの問題です。

三角形ABCにおいて AB=3, BC=5, CA=7 とする。三角形ABCの外接円をOとする。 円Oの弦ACに関して,点Bと反対側の弧AC上に点Dがあり, 線分ADと線分CDの長さが1:2であるとする。 四角形ABCDの対角線ACとBDとの交点をEとする。 (1)∠ABC=120° (2)円Oの半径は7√3/3 (3)AD=7√3/3 (4)∠DAC=90°,∠DBC=90°,∠ABD=30° (5)BD=11√3/3 ここまでは何とかわかったのですが, (6)のAE/CE, BE/DE が分りません。どなたが分かる方宜しくお願いします。

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みんなの回答

  • 回答No.4
  • sunabo
  • ベストアンサー率35% (24/67)

no3の回答の6行目の訂正です。 誤 ∠EBD=∠EAD=90°=弧ACの円周角 正 ∠EBC=∠EAD=90°=弧CDの円周角 ごめんなさい。

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  • 回答No.3
  • sunabo
  • ベストアンサー率35% (24/67)

相似で攻めてみます。 四角形ABCDは円Oに内接 対角線ACとBDの交点はE ⊿BCE∽⊿ADE 相似比はBD:AD=5:7/√3・・・ア なぜなら ∠EBD=∠EAD=90°=弧ACの円周角 ∠BCE=∠ADE=弧ABの円周角 ∠BEC=∠AED=対頂角 だから。 ⊿BEA∽⊿CED 相似比はBA:CE=3:14√3・・・イ なぜなら ∠BAE=∠CDE=弧CEの円周角 ∠ABE=∠DCE=弧ADの円周角 ∠AEB=∠DEC=対頂角 だから。 AE:ED=3:14/√3・・・アより CE:ED=5:7/√3・・・イより EDがかぶるので係数を合わせて消去する。 3ED=(14/√3)・AE 5ED=(7/√3)・CE ED=((14/√3)/3)・AE ED=((7/√3)/5)・CE ((14/√3)/3)・AE=((7/√3)/5)・CE 2/3・AE=1/5・CE AE/EC=(1/5)/(2/3)=3/10 BE:AE=5:7/√3・・・アより AE:DE=3:14√3・・・イより AEがかぶるので係数を合わせて消去する。 5AE=(7/√3)・BE 3DE=(14/√3)・AE AE=((7/√3)/5)・BE AE=(3/(14/√3))・DE ((7/√3)/5)・BE=(3/(14/√3))・DE 7/5・BE=3/14・DE BE/DE=(3/14)/(7/5)=15/98 こんな感じになりました。

参考URL:
http://izumi-math.jp/K_Satou/nagoya/nagoya.htm

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  • 回答No.2
  • f272
  • ベストアンサー率46% (6753/14426)

AE/CE =⊿ABD/⊿CBD =((1/2)AB*AD*sinA)/((1/2)CB*CD*sin(180-A)) =(AB*AD)/(CB*CD) でわかるだろう。BE/DEも同様です。

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  • 回答No.1
  • bran111
  • ベストアンサー率49% (512/1037)

三角関数の加法定理を理解していることを前提にします。 ∠ADB=∠ACB=α ∠BAC=∠BDC=β とする。 ⊿ABCに正弦定理を適用して 3/sinα=5/sinβ=7/sin120°=2r=14/√3 sinα=3√3/14, sinβ=5√3/14  (1) cosα=√[1-(3√3/14)^2]=13/14 (2) cosβ=√[1-(5√3/14)^2]=11/14 (3) α+β=∠ADC=60° 両辺のsinをとると sin(α+β)=√3/2 加法定理により sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ 右辺に(1),(2),(3)を代入して計算すると√3/2となり以上の関係が正しいことが確認できる。 γ=∠AED=∠BEC=β+30°とすると sinγ=sin(β+30°)=sinβcos30°+cosβsin30°=(5√3/14)(√3/2)+(11/14)(1/2)=13/14 ⊿AEDに正弦定理を適用して AE/sinα=AD/sinγ=ED/sin90° AE=ADsinα/sinγ=(7/√3)(3√3/14)/(13/14)=21/13 ED=AD/sinγ=(7/√3)/(13/14)=98/13√3 ⊿BECに正弦定理を適用して BE/sinα=BC/sinγ=EC/sin90° BE=BCsinα/sinγ=5(3√3/14)/(13/14)=15√3/13 EC=BC/sinγ=5/(13/14)=70/13 AE/CE=(21/13)/(70/13)=3/10 BE/DE=(15√3/13)/(98/13√3)=45/98   

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