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この図形問題の解法を教えてください

三角形ABCがある。(AB=5,BC=6,CA=4)この三角形に外接する円Oがある。また、辺ABと辺CAと円Oに内接する円Pがある。この円Pの半径を求めなさい。 以上です。よろしくお願いいたします。 ペイントで作成した画像が添付できませんでした;;すみません。

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  • 回答No.1
  • mizuwa
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概略です。 ●図を参照してください。 △ABCの内接円の中心をI,半径をr △ABCの外接円の中心をO,半径をR 辺ABと辺CAと円Oに内接する円の中心をP,半径をp 辺ABと円Iとの接点をD 辺ABの中点をM 辺ABと円Pとの交点をE 円Oと円Pの接点をQ Oから線分PEに引いた垂線とPEとの交点をF ●準備I 余弦定理より、cosA=1/8 三角比の相互関係より、sinA=(3/8)√7 正弦定理より、R=(8/7)√7 面積の公式より、△ABC=(15/4)√7 面積と内接円の半径,辺の長さの関係より、r=(1/2)√7 内接円の接点と頂点の距離の関係から、AD=(3/2) MがABの中点なので、AM=5/2 ●準備II △AID∽△APEより、AD:AE=ID:PEで、 AD=3/2,ID=r=(1/2)√7,PE=pより …AE=(3/7)√7p OはABの垂直二等分線上にあるので、直角三角形AOMで AM=5/2,AO=R=(8/7)√7より …OM=(9/14)√7 ●直角三角形OFPについて (1)OPについて …円Oと円Pが接することから、OP=OQーPQ=(8/7)√7-r (2)OFについて …OF=ME=AE-AM=(3/7)√7p-(5/2) (3)PFについて …PF=PE-FE=PEーOM=p-(9/14)√7 OP^2=OF^2+PF^2 から、pについての方程式をp>0で解き …p=(8/9)√7

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質問者からのお礼

分かりやすく図まで添付していただきありがとうございました! 親戚の中学生に質問されたのですが解けなくてお恥ずかしい限りです。これで何とか顔が立ちそうです。 高校数学を必要とする上の3つに関しては、中学生にも分かるよう落し込めたので何とか解説できそうです! 本当にありがとうございました。

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