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【ベクトルと平面図形】

AB=9、BC=8、CA=7である△ABCの内接円の 辺BC,CA,ABでの接点をそれぞれD,E,Fとし、内接円の中心をIとする。 (1)四角形AFIE、BDIF、CEIDの面積比は? (2)△ABCの面積は? (3)内接円の半径は? (4)AI→をAB→、AC→で表せ。 問題数が多いのですが… 解ける方いらっしゃいませんか?

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  • 回答No.1
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

>AB=9、BC=8、CA=7である△ABCの内接円の >辺BC,CA,ABでの接点をそれぞれD,E,Fとし、内接円の中心をIとする。 内接円の半径をrとすると、ID=IE=IF=r >(1)四角形AFIE、BDIF、CEIDの面積比は? 内接円の性質から、AF=AE=xとおくと、BF=BD=9-x,CD=CE=7-x BC=BD+CD=(9-x)+(7-x)=8より、x=4 四角形AFIEは底辺x、高さrの直角三角形2個分だから、 面積=(1/2)×x×r×2=rx=4r 同様にして、 四角形BDIF=r(9-x)=5r 四角形CEID=r(7-x)=3r よって、四角形AFIE、BDIF、CEIDの面積比=4r:5r:3r=4:5:3 >(2)△ABCの面積は? 余弦定理より、 cosA=(9^2+7^2-8^2)/2×9×7=11/21 sin^2A=1-(11^2)/21^2)=8^22×5/21^2より、sinA=8√5/21 三角形の面積公式より △ABC=(1/2)×9×7×sinA=(1/2)×9×7×(8√5/21)=12√5 >(3)内接円の半径は? △ABCの面積は、(1)の面積の合計だから、 4r+5r+3r=12√5 12r=12√5 よって、r=√5 >(4)AI→をAB→、AC→で表せ。 AIの延長とBCの交点をG,BIの延長とACの交点をHとする。 AIは∠Aの二等分線、BIは∠Bの二等分線であるから、その性質より、 BD:DC=9:7,CH:HA=8:9だから、 AG=(7/16)AB+(9/16)AC BH=(9/17)BC+(8/17)BA   =(9/17)(AC-AB)-(8/17)AB   =-AB+(9/17)AC A,I,Gは一直線上にあるから、 AI=mAGとおける。 AI=(7/16)mAB+(9/16)mAC ……(1) B,I,Hは一直線上にあるから、 BI=nBHとおける。 AI-AB=-nAB+(9/17)nAC AI=(1-n)AB+(9/17)nAC ……(2) (1)(2)より、係数を比較すると、 (7/16)m=1-n,(9/16)m=(9/17)n 連立でこれを解くと、 m=2/3,n=17/24 よって、 AI=(7/24)AB+(3/8)AC でどうでしょうか?図を描いて考えてみて下さい。

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  • 回答No.3
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

失礼、#2です。(4)を以下の通り訂正します。 (4)AI→をAB→、AC→で表せ。 AIは∠Aを二等分しており、AF=AEなので、AI→の向きは AF→+AE→と一致する。AF:FBは(1)の計算過程より AF:FB=a:b=4:5であり、AF+FB=AB=9よりAF=4となるので、 AF→+AE→=(4/9)AB→+(4/7)AC→。 AI→の大きさは△AFIで三平方の定理より√(16+5)=√21。 点FからAIに下ろした垂線の足をHとすると、 AH/AF=AF/AI → AH=AF^2/AI=16/√21。 AF→+AE→の大きさはAFとAEを2辺とする菱形の対角線の 長さであり、2AH=32/√21となる。 以上より、AI→={(4/9)AB→+(4/7)AC→}(√21)/{32/√21} =(7/24)AB→+(3/8)AC→・・・答え

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  • 回答No.2
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

(1)四角形AFIE、BDIF、CEIDの面積比は? 四角形AFIEの面積を2a、四角形BDIFの面積を2b、 四角形CEIDの面積を2c とすると、 (a+b):(b+c):(a+c)は△ABIの面積:△BCIの面積:△CAIの面積 であり、それぞれの三角形の高さ=内接円の半径なので、面積 の比は辺の長さの比になる。よって、 (a+b)/(b+c)=9/8  → 8a+8b=9b+9c  → 8a=b+9c (a+c)/(b+c)=7/8  → 8a+8c=7b+7c  → 8a=7b-c 両式より10c=6b c=3b/5、代入して 8a=7b-c=7b-3b/5=32b/5 a=4b/5 よって、a:b:c=4b/5:b:3b/5=4:5:3 四角形AFIE、BDIF、CEIDの面積比=2a:2b:2c=a:b:c =4:5:3・・・答え (2)△ABCの面積は? AからBCに下ろした垂線の足をGとすると、三平方の定理より AG^2=81-BG^2 AG^2=49-(8-BG)^2=49-(64-16BG+BG^2)=-15+16BG-BG^2 両辺の差をとって 0=96-16BG → BG=6 → AG=√(81-36)=√45 よって△ABCの面積=(8*√45)/2=12√5・・・答え (3)内接円の半径は? △ABC=△ABI+△BCI+△CAIなので、面積の2倍を計算すると、 内接円の半径=rとして 24√5=r*(7+8+9) → r=√5・・・答え (4)AI→をAB→、AC→で表せ。 AIは∠Aを二等分しており、AF=AEなので、AIの大きさは AFとAEを2辺とする菱形の対角線の長さの1/2になる。 AF:FBは(1)の計算過程よりAF:FB=a:b=4:5であり、AF=4 となる。以上より、AI→=(1/2){(4/9)AB→+(4/7)AC→} =(2/9)AB→+(2/7)AC→・・・答え

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