図形の問題で困っています

質問

以下の問題がどうしても解けません。
アドバイスよろしくお願いいたします。

「半径1の円に内接する△ABCにおいて、AB=√3 、BC=1/2であるときCAを求めよ」

正弦定理から余弦へ転換させて解こうとしましたがうまくいきませんでした(>_<)
よろしくお願いいたしますm(_ _)m

回答No.1

takebe · ベストアンサー

∠BAC を a とすると，CA は

2 cos (30 - a)

となります(図を描いてみましょう)．

円の中心と BC とがなす三角形の円の中心での角が 2a であることより，

sin a = 1/4，cos a = √15/4

であることがわかるので，加法定理で求められそうな気がします．

お礼

ありがとうございました。m(_ _)m
内接する四角形を作って-30+aの角を使ったのですね。
実はcosCから余弦を適用したら一発で解けてしまいました(^^;

回答No.5

tak001

先ず、ＸとＹ軸を描いて点（０，０）を中心とし半径１の円と点（１，０）を中心とし半径1/2の円を描いて下さい。
そして点Ａを（-1/2，-√3/2）、点Ｂを（１，０）とします。すると点Ｃは？そう先の二つの円の交点ですね。あとは簡単。
点Ｃを（ａ，ｂ）とすると、
aa+bb=1…あ
(a-1)(a-1)+bb=1/4…い
あ、い を解いて
a=7/8,b=+√15/8,-√15/8
よって（ＡＣ）の二乗は　23/8+3√5/8,23/8-3√5/8
となります。答えは上の平方根となります。
何故かは考えてみて下さい。あと（ＡＣ）を解く時は
（ＡＣ）の二乗=aa+bb+a+√3b+1
_ = 1 +a+√3b+1
とした方が速く、しかも計算間違いが少なくなります。
他にももっと分かり易く良い方法はあると思いますがとりあえず…

お礼

ありがとうございました。m(_ _)m

回答No.4

newtype

余は三角形ＡＢＣと三角形ＡＯＣにたいして余弦定理を適用したぞ。
するとそれぞれ
（ＡＣ＊ＡＣ）＝１３／４ー√３cosＢ－－－－－－－－－（１）
（ＡＣ＊ＡＣ）＝２ー２cos２Ｂ
＝４－４cosＢ＊cosＢ－－－－－－－－－－（２）
となるので
これをcosＢについて解き（二次方程式）、（１）に代入するとこたえがでるぞ。

回答No.3

newtype

余は三角形ＡＢＣと三角形ＡＯＣにたいして余弦定理を適用したぞ。
するとそれぞれ
（ＡＣ＊ＡＣ）＝１３／４ー√３cosＢ－－－－－－－－－（１）
（ＡＣ＊ＡＣ）＝２ー２cosＢ
＝４－４cosＢ＊cosＢ－－－－－－－－－－（２）
となるので
これをcosＢについて解き（二次方程式）、（１）に代入するとこたえがでるぞ。

お礼

ありがとうございました。m(_ _)m
cosCの余弦でも求めることが出来ました。

回答No.2

stomachman

作図と解析を適当にこき混ぜて使うというのも、なかなか便利ですよ。

「半径1の円に内接する△ABCにおいて、AB=√3 、BC=1/2であるときCAを求めよ」

この円の直径が2、そこへ√3、と来たんだから、とりあえず、
Aを通る直径をADとしてみると、AD=2, AB=√3、だから、BD=1はオッケーすよね。ABDは直角三角形だ。そして円の中心OとB,Dが作る三角形OBDは正三角形で一辺が1。

で、BC=1/2ですけど、こりゃ何だか中途半端な場所ですね。だからここから解析幾何に移動～ポン！

O=(0,0),A=(-1,0), D=(1,0)とする。OBDが正三角形ですからB=(1/2,√3/2)、そしてC=(x,y)
ここに、Cは
円周上にあって、...
(x^2)+(y^2)=1　
Cとの距離が1/2 ....
|B-C| = 1/2
という問題になります。

|B-C|^2 = 1/4
ですが、この左辺は
|B-C|^2 = (x-1/2)^2 + (y-√3/2)^2　= (x^2)+(y^2) -x -(√3)y + 1
ですから、(x^2)+(y^2)=1より、
|B-C|^2 = 2-x -(√3)y
ということ。つまり
2-x -(√3)y= 1/4
です。

　すなわち
x +(√3)y = 7/4
という直線と、円
(x^2)+(y^2)=1
の交点がC=(x,y)ですね。二次方程式の問題です。解が２つ出る。２つとも使います。

x,yが２通り分かったら、あとは|C-A|を２通り求めるだけ。（図を描いて、２つ答があることを確認してみて下さい。）

いや、計算間違いはしょっちゅうやりますんで、ご自分でチェック宜しく。

お礼

ありがとうございました。m(_ _)m
実は√3/cosC = 2を使ってcosCを求めて
余弦を使い
3 = 1/4 + AC^2 - 2 x 1/4 x AC x cosC
で簡単に求めることができました。