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三角関数で分からない問題があります。お願いします。

三角形ABCにおいてsinA/6=sinB/5=sinC/4が成り立つことから以下の問題に答えなさい。 (1)cosA、sinAをの値を求めなさい。 (2)三角形ABCに内接する円の半径が1のとき、ABの長さ、三角形ABCの面積、三角形ABCの外接円の半径を求めなさい。 正弦定理を使うことはわかりますが、どう使えばよいのか分かりません。お願いします。

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  • 回答No.3
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

sinA/6=sinB/5=sinC/4が成り立つということは、△ABCの各辺 の長さをa,b,c(各Aの対辺をa、以下同じ)とすると、 a:b:c=6:5:4が成り立つということです。 (1)cosA、sinAをの値を求めなさい。 余弦定理により、36=25+16-2*4*5cosAよりcosA=1/8・・・答え sinA=√(1-1/64)=√(63/64)=(3√7)/8・・・答え (2)三角形ABCに内接する円の半径が1のとき、ABの長さ、三角形ABCの面積、三角形ABCの外接円の半径を求めなさい。 内接する円の中心をOとすると、△OAB、△OBC、△OCAは全て 高さが1の三角形になる。△ABCの各辺の長さをa=6x、b=5x、 c=4xとすると、△ABCの面積=△OAB、△OBC、△OCAの面積の和 =(1/2)*1*(6x+5x+4x)=15x/2・・・(ア) sinA=(3√7)/8を使うと、△ABCの面積=(1/2)*b*c*sinA =(1/2)*5x*4x*(3√7)/8=(15x^2√7)/4・・・(イ) (ア)=(イ)からx{(x√7)-2}=0、x≠0からx=2/√7、よって ABの長さ=c=4x=8/√7=(8√7)/7・・・答え 三角形ABCの面積=15x/2=15/√7=(15√7)/7・・・答え 正弦定理より三角形ABCの外接円の半径=a/(2sinA) =6*(2/√7)/{2*(3√7)/8}=16/7・・・答え

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  • 回答No.2

(1)三辺の長さa,b,cについて正弦定理より a:b:c=sinA:sinB:sinC 条件式より, sinA:sinB:sinC=6:5:4 ゆえに a:b:c=6:5:4,a=6k,b=5k,c=4k(kは正の数) 余弦定理より cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(25k^2+16k^2-36k^2)/(40k^2)=1/8 ∴sinA=√(1-cos^2A)=√(1-1/64)=√(63/64)=3√7/8 (2)三角形の面積Sについて S=(1/2)bcsinA=(1/2)r(a+b+c) ここにrは内接円半径で1.またa=6k,b=5k,c=4k,sinA=3√7/8より S=(1/2)20k^2・3√7/8=(1/2)1(15k)=15√7k^2/4=15k/2 ∴√7k=2,k=2/√7=2√7/7 ∴S=(15/2)(2√7/7)=15√7/7 外接円半径Rについて正弦定理より R=a/(2sinA)=6k/(2・3√7/8)=8k/√7=(8・2/√7)/√7=16/7

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  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

・正弦定理がどのようなものか, わかりますか? ・なぜ「正弦定理を使う」と思ったのですか?

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