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平面図形の問題

図のような△ABCがある。辺BC上に点Dを、辺CA上に点Eを、辺AB上に点Fを、BD/DC=CE/EA=AF/FB=1/2となるようにとる。さらに、線分ADと線分CFとの交点をP、線分ADと線分BEとの交点をQ、線分CFと線分BEとの交点をRとする。 △PQRと△ABCの面積比△PQR/△ABCの値を求めよ。 という問題の解き方を教えてもらえないでしょうか? 回答よろしくお願いします。

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  • 回答No.1
  • ferien
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図のような△ABCがある。辺BC上に点Dを、辺CA上に点Eを、辺AB上に点Fを、BD/DC=CE/EA=AF/FB=1/2となるようにとる。さらに、線分ADと線分CFとの交点をP、線分ADと線分BEとの交点をQ、線分CFと線分BEとの交点をRとする。 >△PQRと△ABCの面積比△PQR/△ABCの値を求めよ。 メネラウスの定理より、 (AF/FB)・(BC/CD)・(DP/PA)=1より、 (1/2)・(3/2)・(DP/PA)=1より、DP:PA=4:3 ……(1) 同様にして、ER:RB=4:3 ……(2)これから、ベクトルAB,ACで表すと、 AR=(4/7)AB+(3/7)AE AE=(2/3)ACより、 =(4/7)AB+(3/7)・(2/3)AC =(4/7)AB+(2/7)AC ……(3) A,R,Dは一直線上にあるから、 AR=kADとおける。AD=(2/3)AB+(1/3)ACより、 AR=(2/3)kAB+(1/3)kAC ……(4) (3)(4)を係数比較して、 (2/3)k=4/7,(1/3)k=2/7 よって、k=6/7 AR=(6/7)ADより、AR:AD=6:7 だから、AR:RD=6:1 (1)より、AP:AD=3:7だから、AP:AR=3:6 よって、AP:PR=3:3 以上より、AP:PR:RD=3:3:1 同様にして、メネラウスの定理より、 (AF/FB)・(BQ/QR)・(RP/PA)=1より、 (1/2)・(BQ/QR)・(3/3)=1から、BQ:QR=2:1 これと(2)より、BR:RQ:QE=3:3:1 △ABEと△ABCで、Bを頂点と見ると高さが同じだから、面積比=底辺の比だから、 △ABE:△ABC=AE:AC=2:3より、 △ABE=(2/3)△ABC △ARQと△ABEで、頂点をAと見ると、 △ARQ:△ABE=RQ:BE=3:7より、 △ARQ=(3/7)△ABE=(3/7)×(2/3)△ABC △PQRと△ARQで、頂点をQと見ると、 △PQR:△ARQ=PR:AR=3:6=1:2より、 △PQR=(1/2)△ARQ=(1/2)×(3/7)×(2/3)△ABC=(1/7)△ABC よって、△PQR/△ABC=1/7 でどうでしょうか?図を描いて考えて下さい。

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回答ありがとうございました!非常に分かりやすかったです!

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  • 回答No.3
  • f272
  • ベストアンサー率46% (6763/14443)

(図形全体)=((三角形ABC)-(三角形PQR))*2+(三角形PQR)=(三角形PQR)*13 だから (三角形PQR)/(三角形ABC)=1/7

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回答ありがとうございました!

  • 回答No.2
  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)

線分BDを2:1に内分する点をGとすると、 GC:DC=7:6 FGとADは並行だから、 GC:DC=FC:PC=△AFC:△APC=7:6 △AFCは△ABCの1/3だから、△APCは△ABCの2/7となり、 △APC/△ABC=2/7 同様に、△BQA/△ABC=2/7、△CRB/△ABC=2/7 △PQR=△ABC-(△APC+△BQA+△CRB) △PQR/△ABC=1-(2/7+2/7+2/7)=1/7

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