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数学の面積を求める問題です。

図で、三角形ABCの辺BCを直径とする半円Oと辺AB、辺ACとの交点をそれぞれD、Eとする。 頂点Bと点E、頂点Cと点Dをそれぞれ結び、線分BEと線分CDとの交点をFとする。 ∠ABC=60°、∠ACB=75°、BC=4cmのとき、線分ADと線分AEと弧DEで囲まれる図形の面積は何cm2か。ただし、円周率はπ(パイ)とする。 (解説も宜しくお願いします。)

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△BCDは30°、60°の直角三角形であるから BD=BC/2=2 cm、CD=√3BD=2√3 cm △ADCは45°、45°の直角三角形であるから  AD=CD=2√3 cm、AC=CD√2=2√6 cm AB=BD+AD=2+2√3 cm △ABEは45°、45°の直角三角形であるから  AE=BE=AB/√2=(1+√3)√2 cm △BDOはOB=OD=BD=2 cmの正三角形であるから  △BDO=(1/2)*2*2*√3/2=√3 cm2 △CEO=(1/2)△BCE =(1/2)*(1/2)BE*CE=(1/4)AE*(AC-AE)=(1/4)*((1+√3)√2)*(2√6-((1+√3)√2)) =(1/2)(1+√3)*(2√3-(1+√3)) =(1/2)(3-1)=1 cm2 扇形ODEの中心角は90°(1/4円)であるから  扇形ODE=(1/4)π*2^2=π cm2 求める面積=△ABC-△BDO-△CEO-扇形ODE  =(1/2)AB*CD-√3-1-π  =(1/2)(2+2√3)*2√3-√3-1-π  =2√3+6-√3-1-π  =(5-π+√3) cm2 …(答)

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求める部分の面積をSとすると、 S=三角形ADE-弓形DE ・・・(*) です。 まず、与えられた数値から、∠BDC=∠BEC=π/2、∠A=π/4、∠DOE=π/2、DE=2√3、などが得られます。 これらから、AD=2√3、AC=2√3・√2、AE=(2+2√3)/√2=√2(1+√3)。 三角形ADE=(1/2)・2√3・2√6・sin(π/4)=3+√3. 弓形DE=(1/4)・π・2^2-(1/2)・2^2=πー2. 以上より、 S=3+√3-(πー2)=5+√3-π となります。

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