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数学の面積の問題

数学の面積の問題です。解説もよろしくお願いします。 下の図で、三角形ABCの3つの頂点A、B、Cは円周上にあり、AB>AC、∠ABCは90°以上の角である。 頂点Aを含まない弧BC上に2点D、EをB、D、E、Cの順に並ぶようにとる。4点B、D、E、Cは互いに一致しない。 頂点Aと点D、頂点Aと点E、点Dと点Eをそれぞれ結び、辺BCと線分ADの交点を点F、辺BCと線分AEの交点をGとする。 点Fが線分ADの中点、点Gが線分AEの中点で、辺BCが円の直径、BC=4cm、三角形ABCの面積と三角形ADEの面積の比が2:3のとき、三角形AFGの面積は何cm2か。

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  • gohtraw
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点Fって、この円の中心になるのでは?証明は必要ですが。 だとするとADは円の直径になるので∠AEDは直角。 よってAEの長さは√(4^2-3^2)=√7 また、△AFGとADEの相似からBCとDEは並行。よって AGとFGは直交。 また、FGの長さは3/2なので、 △AG¥FGの面積は 3/2*√7/2/2=3√7/8

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質問者からの補足

私も、点Fが円の中心(ADも直径)と思うのですが、証明の仕方はあるでしょうか?

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その他の回答 (4)

  • 回答No.5
  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)

△FACと△FDBを比較すると、 FD=FA ∠CFA=∠BFD ∠FAC=∠FBD (いずれも弦CDに対する円周角) なので、二つの三角形は合同であり、よってFB=FC したがってFはこの円の中心。 これでいかがでしょう?

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質問者からのお礼

なるほど、それでFが円の中心(ADも直径)と証明できますね、どうも有難うございました。

  • 回答No.3
noname#215361
noname#215361

ANo.2の補足です。 三角形ADEと三角形AFGが相似であれば、相似比にかかわらず対応する角の大きさが等しくなるので ∠ADE=∠AFG ∠ADEと∠AFGは辺DEと辺FGの同位角になるので、辺DEと辺FG(BC)は平行 特に問題の場合には、点Fが線分(辺)ADの中点、点Gが線分(辺)AEの中点であることから辺DEと辺FGの比も2:1 以上は、中点連結定理を証明したことになる 既に触れたように、三角形ADEと三角形AFGで底辺を辺DEと辺FGとしたときの高さの比も2:1 また、OHは結果として辺DEの垂直二等分線となることが分かる これは、一般的に二等辺三角形の頂点から底辺に下した垂線が、底辺の垂直二等分線になるということである

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  • 回答No.2
noname#215361
noname#215361

∠ABCの大きさは無関係だと思い、解いてみました。 三角形ADEと三角形AFGは、二辺の比(2:1)とそのはさむ角の大きさが等しいので相似 三角形ABCの面積は、辺BCを底辺とし、高さをhとすると、4*h/2=2h このhは、三角形AFGの辺FGを底辺としたときの高さでもある 三角形ADEの面積は、底辺をDEとすると前の比から高さは2hとなるので、DE*2h/2=DEh 2h:DEh=2:DE=2:3→DE=3 この円の中心O(辺BCの中点)から辺DEに下した垂線の足をHとする 直角三角形ODHと直角三角形OEHにおいて、OD=OE=2(半径)、OHは共通なので 三平方の定理によって残りの一辺の長さも等しくなる よって、DH=EH=3/2 これからまた三平方の定理によって (OH)^2=2^2-(3/2)^2=4-9/4=7/4→OH=√7/2 この値が前の比からhになる よって、三角形AFGの面積は、辺FGを底辺とすると前の比から長さは3/2となるので 3/2*h/2=3/2*√7/2/2=3√7/8(cm)^2 解いてみた感想は、日頃から図形問題に慣れていないと、なかなかhの値が求まりません。

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質問者からのお礼

この解き方だと、点Fが円の中心(ADも直径)と確信なくとも解けますね。どうも有難うございました。

  • 回答No.1
noname#215361
noname#215361

辺BCが円の直径ならば∠BAC=90°なので、言うまでもなく∠ABC<90°では?

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質問者からの補足

これは元々、問題文の上から4行目の「・・点Fが線分ADの中点」という所までが前提で、三角形ABCが鈍角三形である図と共に示された問題中の、「辺BCが直径・・」以降の部分が追加前提での、小問の一つです。

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