数学の面積の問題

質問

数学の面積の問題です。解説もよろしくお願いします。

下の図で、三角形ABCの３つの頂点A、B、Cは円周上にあり、AB>AC、∠ABCは９０°以上の角である。
頂点Aを含まない弧BC上に２点D、EをB、D、E、Cの順に並ぶようにとる。４点B、D、E、Cは互いに一致しない。
頂点Aと点D、頂点Aと点E、点Dと点Eをそれぞれ結び、辺BCと線分ADの交点を点F、辺BCと線分AEの交点をGとする。
点Fが線分ADの中点、点Gが線分AEの中点で、辺BCが円の直径、BC＝４cm、三角形ABCの面積と三角形ADEの面積の比が２：３のとき、三角形AFGの面積は何cm2か。

回答No.4

gohtraw · ベストアンサー

点Ｆって、この円の中心になるのでは？証明は必要ですが。
だとするとＡＤは円の直径になるので∠ＡＥＤは直角。
よってＡＥの長さは√（４＾２－３＾２）＝√７
また、△ＡＦＧとＡＤＥの相似からＢＣとＤＥは並行。よって
ＡＧとＦＧは直交。

また、ＦＧの長さは３／２なので、
△ＡＧ￥ＦＧの面積は
３／２＊√７／２／２＝３√７／８

補足

私も、点Fが円の中心（ADも直径）と思うのですが、証明の仕方はあるでしょうか？

回答No.5

gohtraw

△FACと△FDBを比較すると、
FD=FA
∠CFA＝∠BFD
∠FAC=∠FBD　（いずれも弦CDに対する円周角）
なので、二つの三角形は合同であり、よってFB=FC
したがってFはこの円の中心。

これでいかがでしょう？

お礼

なるほど、それでFが円の中心（ADも直径）と証明できますね、どうも有難うございました。

回答No.3

noname#215361

ANo.2の補足です。

三角形ADEと三角形AFGが相似であれば、相似比にかかわらず対応する角の大きさが等しくなるので
∠ADE=∠AFG
∠ADEと∠AFGは辺DEと辺FGの同位角になるので、辺DEと辺FG(BC)は平行
特に問題の場合には、点Fが線分（辺）ADの中点、点Gが線分（辺）AEの中点であることから辺DEと辺FGの比も2：1
以上は、中点連結定理を証明したことになる
既に触れたように、三角形ADEと三角形AFGで底辺を辺DEと辺FGとしたときの高さの比も2：1
また、OHは結果として辺DEの垂直二等分線となることが分かる
これは、一般的に二等辺三角形の頂点から底辺に下した垂線が、底辺の垂直二等分線になるということである

回答No.2

noname#215361

∠ABCの大きさは無関係だと思い、解いてみました。

三角形ADEと三角形AFGは、二辺の比(2：1)とそのはさむ角の大きさが等しいので相似
三角形ABCの面積は、辺BCを底辺とし、高さをhとすると、4*h/2=2h
このhは、三角形AFGの辺FGを底辺としたときの高さでもある
三角形ADEの面積は、底辺をDEとすると前の比から高さは2hとなるので、DE*2h/2=DEh
2h：DEh=2：DE=2：3→DE=3
この円の中心O(辺BCの中点)から辺DEに下した垂線の足をHとする
直角三角形ODHと直角三角形OEHにおいて、OD=OE=2（半径）、OHは共通なので
三平方の定理によって残りの一辺の長さも等しくなる
よって、DH=EH=3/2
これからまた三平方の定理によって
(OH)^2=2^2-(3/2)^2=4-9/4=7/4→OH=√7/2
この値が前の比からhになる
よって、三角形AFGの面積は、辺FGを底辺とすると前の比から長さは3/2となるので
3/2*h/2=3/2*√7/2/2=3√7/8（cm）^2

解いてみた感想は、日頃から図形問題に慣れていないと、なかなかhの値が求まりません。

お礼

この解き方だと、点Fが円の中心（ADも直径）と確信なくとも解けますね。どうも有難うございました。

回答No.1

noname#215361

辺BCが円の直径ならば∠BAC=90°なので、言うまでもなく∠ABC＜90°では？

補足

これは元々、問題文の上から４行目の「・・点Fが線分ADの中点」という所までが前提で、三角形ABCが鈍角三形である図と共に示された問題中の、「辺BCが直径・・」以降の部分が追加前提での、小問の一つです。