面積の問題を教えてください

質問

三角形ABCがあり、点Ｍ、Ｎはそれぞれ辺ＢＣ、ＣＡの中点である。また、点Ｐは線分ＡＭ、線分ＢＮの交点である。四角形ＰＭＣＮの面積は三角形ＡＢＣの何倍か求めなさい。

数学から離れて久しいため、わかりやすく教えて頂ければ大変助かります。

回答No.1

at42 · ベストアンサー

どうも。センター前日の高校生です(笑)

三角形の各頂点と、向かいの辺の中点を結んだ線は、３本すべてが１点に集まり、その点のことを「重心」といいます。

この問題でいうと、点Pは重心です。
重心であるということは、仮にABの中点をLと置くと、

AP：PM＝BP：PN＝CP：PL＝２：１　　ということになります。

以上をもって、
△ABC＝１　として考えると△AMC＝１/２です。

次に、△AMC：△APNを比較すると(AMを底辺として書きます)、
底辺は、さっきの重心の定義より、AM：AP＝３：２
高さは、CA：NA＝２：１と同じく２：１です。

つまり、△APN＝△AMC(面積１/２)×２/３×１/２＝１/６です。
よって、四角形PMCN＝△AMC(面積１/２)－△APN(面積１/６)＝１/３

したがって、四角形PMCNの面積は、△ABCの１/３倍である。

本当言うと、中点と頂点を結んだ線で６つに分割された三角形は全て面積は等しいというのは、重心の定義の一つなので、実はこの問題は知ってれば即答できる問題です。

こんな感じでいかがでしょうか(*・ω・)ノ

お礼

回答ありがとうございます。

大変丁寧な回答で、とてもよく理解できました。
ありがとうございました。

今日がセンター試験なんですね！
ご自身の努力の成果がいかんなく発揮できるようここ福岡からお祈りしています＾＾ふぁいと！

回答No.3

ferien

三角形ABCがあり、点Ｍ、Ｎはそれぞれ辺ＢＣ、ＣＡの中点である。また、点Ｐは線分ＡＭ、線分ＢＮの交点である。
＞四角形ＰＭＣＮの面積は三角形ＡＢＣの何倍か求めなさい。

△ＡＢＣと△ＮＢＣで、頂点をＢ、底辺をＡＣ，ＮＣと考えると、
高さが同じだから、面積比は底辺の比で決まる。だから、
△ＮＢＣ＝（１／２）△ＡＢＣ……（１）
△ＡＢＣと△ＡＢＭで同じ考えで、
△ＡＢＭ＝（１／２）△ＡＢＣ……（２）
点Ｐは、△ＡＢＣの重心（頂点と中点を結んだ線分の交点）であるから、
ＡＰ：ＰＭ＝２：１　よって、ＡＭ：ＰＭ＝３：１……（３）
△ＡＢＭと△ＰＢＭで、頂点をＢ、底辺をＡＭ，ＰＭと考えると、
高さが同じだから、面積比は底辺の比で決まる。だから
（３）より、△ＰＢＭ＝（１／３）△ＡＢＭ　（２）より
　　　　　　　　　　＝（１／３）×（１／２）△ＡＢＣ
　　　　　　　　　　＝（１／６）△ＡＢＣ……（４）
（１）（４）より、
四角形ＰＭＣＮ＝△ＮＢＣ－△ＰＢＭ
　　　　　　　＝（１／２）△ＡＢＣ－（１／６）△ＡＢＣ
　　　　　　　＝（１／３）△ＡＢＣ

よって、四角形ＰＭＣＮの面積は三角形ＡＢＣの１／３倍

お礼

回答ありがとうございます。

四角形PMCNを問われて△ＮＢＣ－△ＰＢＭから解かなくてはいけないのですね！
その発想ができません…
しかし、書いていただいている内容は、理解できました。
どうもありがとうございまいした。
ご丁寧で、よくわかりました。

回答No.2

info22_

必ず図を描いて以下の式を追ってみて下さい。

△PMN∽△PABで相似比PM/PA=MN/AB=1/2なのでPM/AM=1:3
△PMN/△AMN=PM/AM=1/3, △AMN/△AMC=AN/AC=1/2
∴△PMN/△AMC=(△PMN/△AMN)*(△AMN/△AMC)=(1/3)*(1/2)=1/6
△AMC/△ABC=MC/BC=1/2
∴△PMN/△ABC=(△PMN/△AMC)*(△AMC/△ABC)=(1/6)*(1/2)=1/12
また
△CMN/△ABC=(1/2)^2=1/4
∴四角形PMCN=△PMN+△CMN=(1/12)△ABC+(1/4)△ABC=(1/3)△ABC

答え。(1/3)倍

お礼

回答ありがとうございます。
図を書いて問題を解く、肝に銘じておきます。

さて、回答していただいて申し訳ないのですが、
△PMN∽△PABで相似比PM/PA=MN/AB=1/2なのでPM/AM=1:3
のところから既に理解できません。。。
お恥ずかしい話ですが
数学から離れて10年以上経ち（言い訳。。。）定義などがすべて頭から飛んでいます。

他の方の回答を拝見し、理解しましたので、今回は受付を締め切らせていただきました。
また今後投稿させていただいた際には、よろしくお願いいたします。