正四面体

質問

0を頂点とする0ABCの正四面体があります。
１辺の長さが８ｃｍです。辺BCの中点をMとし、辺OA上にOD＝MDとなるように点Dをとる。このとき次の問いに答えなさい。
（１）線分OMの長さ
（２）三角形OAMの面積
（３）点Dから線分AMに引いた垂線とAMとの交点をHとするとき、DHの長さ
ここの（３）がよくわからないのですが・・・。

よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
OM=(正△OBCの高さ)=8*√3/2=4√3cm

(2)
△MOAで、AM=OM=4√3cm、OA=8cm　なので
ヘロンの公式S=√{s(a-a)(s-b)(s-c)},s=(a+b+c)/2 より
s=(8+4√3+4√3)/2=4(1+√3)
面積S=√{4(1+√3)*4(√3-1)*4*4}=16√2 cm^2

(3)
OD＝MDより△DOMは二等辺三角形なので∠OMD=∠MOD
また△MOAもOM=AMで二等辺三角形で∠MAO=∠MOA=∠MOD
従って△DOM∽△MOA,
これからDO:OM=OM:OA=4√3:8=√3:2
∴DO=DM=OM√3/2=4√3*√3/2=6 cm
相似比はOD:OM=6:4√3=√3:2
面積比は相似比の２乗に等しいから
△DOM=△MOA*(√3/2)^2=16√2*(3/4)=12√2 cm^2
△DAMの面積は
　△DAM=△MOA-△DOM=16√2-12√2=4√2 cm^2
=AM*DH/2
これから
　DH=2*4√2/AM=8√2/4√3=(2√6)/3 cm

回答No.2

ferien

0を頂点とする0ABCの正四面体があります。
１辺の長さが８ｃｍです。辺BCの中点をMとし、辺OA上にOD＝MDとなるように点Dをとる。このとき次の問いに答えなさい。
（１）線分OMの長さ
（２）三角形OAMの面積
（３）点Dから線分AMに引いた垂線とAMとの交点をHとするとき、DHの長さ
>ここの（３）がよくわからないのですが・・・。

（１）ＯＭ＝４ルート３ｃｍ
（２）三角形OAMの面積＝１６ルート２ｃｍ^2

（３）だけやってみます。

＞辺OA上にOD＝MDとなるように点Dをとる。

点Ｄがどんな点なのかよく分からないので、△ＯＡＭの図を描いてみました。
ＯＡ＝８cm
ＭＯ＝ＭＡ＝４ルート３＝６.９……なので、７ｃｍぐらいにしました。
点Ｄは、線分ＯＭの垂直二等分線と線分ＯＡとの交点になります。
点Ｄが垂直二等分線上の点のため、線分の両端までの距離が等しいから、ＯＤ＝ＭＤになります。

（１）ＯＤの長さを求めます。

二等辺三角形　△ＯＡＭと△ＤＯＭは相似になります。

角Ｏが共通で、どちらも二等辺三角形だから、角Ｏ＝角ＯＡＭ，角Ｏ＝角ＯＭＤになり、
これから、角ＯＡＭ＝角ＯＭＤ　が言えるので、２つの角が等しくなるから　です。
だから、辺の比が等しくなります。　

ＯＡ：ＯＭ＝ＯＭ：ＯＤ　より、８：４ルート３＝４ルート３：ＯＤ　ＯＤ＝６

（２）△ＤＡＭの面積を求めます。

ＯＤ＝６だから、ＯＡ；ＤＡ＝８：２＝４：１　になります。

△ＯＡＭと△ＤＡＭは、底辺をそれぞれＯＡ，ＤＡと見れば、高さが等しくなります。
だから、面積の比は底辺の比できまります。だから、面積の比＝４：１

△ＤＡＭの面積＝（１／４）×△ＯＡＭの面積＝（１／４）×１６ルート２＝４ルート２

（３）ＤＨの長さを求めます。

△ＤＡＭについて、今度は底辺をＡＭと見るとＤＨが高さになります。
だから、△ＤＡＭの面積＝ＡＭ×ＤＨ×（１／２）より

　　　　４ルート３×ＤＨ×（１／２）＝４ルート２

よって、ＤＨ＝２ルート６／３