• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

数B平面ベクトルの問題

平面ベクトルの問題です!解説をお願いします。 OA=√3,OB=√2, AB=2の△OABの形をした紙を考える。辺OAを2:1に内分する点を Cとし、図のように線分BCを折 り目としてこの紙を折ったときの頂点Oのうつる先をD、線分CDと辺ABとの交点をEとする。このとき、次の各問いに答えよ。 (1)↑OAと↑OBの内積を求めよ 。 (2)↑ODを↑OAと↑OBで表せ。 (3)△EDBの面積を求めよ。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1

ベクトル記号↑を省略します. OA=a,OB=bとおくと,|a|=√3,|b|=√2,∠AOB=θはa,bのなす角. (1)△OABにおける余弦定理より, cosθ={(√3)^2+(√2)^2-2^2}/(2√3√2)=1/(2√6) ∴OA・OB=a・b=√3√2cosθ=√6・1/(2√6)=1/2(答) (2)a,bは0でない,平行でないから OD=sa+tb とおける.OD⊥BCより OD・BC=(sa+tb)・(2a/3-b)=(2s/3)|a|^2+(-s+2t/3)a・b-t|b|^2 =2s-s/2+t/3-2t=3s/2-5t/3=0 t=9s/10 ∴OD=s(a+9b/10)=(s/10)(10a+9b) ODとBCの交点をMとすると,Mは線分ODの中点. OM=(1/2)OD=(s/20)(10a+9b) c=OC=2a/3とおくと,a=3c/2で OM=(s/20){10(3c/2)+9b}=(3s/4)b+(9s/20)c Mは直線BC上にあるから, 3s/4+9s/20=1 24s/20=6s/5=1,s=5/6 ∴OD=(10a+9b)/12=(5/6)a+(3/4)b(答) (3)EはCD上にあるから, OE=(1-k)OC+kOD=(1-k)(2/3)a+(5k/6)a+(3k/4)b =(2/3+k/6)a+(3k/4)b EはAB上にあるから (2/3+k/6)+3k/4=1 11k/12=1/3,k=4/11 ∴CE=kCD=(4/11)CD すなわちCE:ED=4:7である.よって ∴△EDB=(7/11)△BDC=(7/11)△BOC OC:CA=3:1より△BOC=(2/3)△OAB ∴△EDB=(7/11)(2/3)△OAB=(14/33)(1/2)|a||b|sinθ =(7/33)√3√2√(1-cos^2θ)=(7√6/33)√(1-1/24) =(7√6/33)√(23/24)=(7√6/33)(√23/2√6)=7√23/66(答)

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

その他の回答 (1)

  • 回答No.2
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

>OA=√3,OB=√2, AB=2の△OABの形をした紙を考える。辺OAを2:1に内分する点を Cとし、 >図のように線分BCを折 り目としてこの紙を折ったときの頂点Oのうつる先をD、 >線分CDと辺ABとの交点をEとする。このとき、次の各問いに答えよ。 >(1)↑OAと↑OBの内積を求めよ 。 △AOBで、余弦定理より cos∠AOB=(OA^2+OB^2-AB^2)/2・OA・OB =(3+2-4)/(2×√3×√2) =1/2√6 OA・OB=|OA|・|OB|cos∠AOB =√3・√2・(1/2√6) =1/2 >(2)↑ODを↑OAと↑OBで表せ。 OC=(2/3)OAより、 BC=OC-OB=(2/3)OA-OB……(1) BCとODの交点をFとする。 BF:FC=t:(1-t)とすると、 OF=(1-t)OB+tOC =(2/3)t・OA+(1-t)OB BCに関して、OとDは対称だから、OD=2OFとおけるから、 OD=2{(2/3)t・OA+(1-t)OB} =(4/3)t・OA+2(1-t)OB……(2) BCとODは垂直だから、BC・OD=0より、(1)(2)から、 {(2/3)OA-OB}・{(4/3)t・OA+2(1-t)OB} =(8/9)t・|OA|^2+(4/3)(1-t)(OA・OB)-(4/3)t(OA・OB)            -2(1-t)・|OB|^2 =(8/3)t+(2/3)(1-t)-(2/3)t-4(1-t)=0より、 t=5/8,1-t=3/8だから、 (2)へ代入して、 OD=(4/3)・(5/8)OA+2・(3/8)OB =(5/6)OA+(3/4)OB >(3)△EDBの面積を求めよ。 BCで折り返したから、△BOC≡△BDCより、2つの三角形の面積は等しい。 cos∠AOB=1/2√6より、 sin^2∠AOB=1-(1/24)=23/24より、sin∠AOB=√23/2√6=sin∠COB △BDCの面積=△BOCの面積 =(1/2)×OB×OC×sin∠COB =(1/2)×√2×(2√3/3)×(√23/2√6) =√23/6 CE:ED=s:(1-s)とすると、 BE=(1-s)BC+sBD =(1-s){(2/3)OA-OB}+s{OD-OB} =(1-s){(2/3)OA-OB}+s{(5/6)OA+(3/4)OB-OB} ={(2/3)+(1/6)s}OA+{-1+(3/4)s}OB ……(3) B,E,Aは一直線上にあるから、BE=kBAとおけるから、 BE=kOA-kOB ……(4) (3)(4)を係数比較して、 (2/3)+(1/6)s=k,-1+(3/4)s=-k を連立で解くと、 s=4/11,1-s=7/11 よって、CE:ED=(4/11):(7/11)=4:7 △EDBと△BDCは、頂点をBと考えると高さが同じだから、 面積の比=CD:DE=11:7 になるから、 △EDBの面積=(7/11)△BDC =(7/11)×(√23/6) =7√23/66 図を描いて確認してみて下さい。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • ベクトルと平面図形の問題です。

    △OABにおいて、OA=4、OB=3、AB=√13とする。頂点Oから辺ABに垂線OHを下ろす。また、辺OBを2:1に内分する点をMとし、線分OHと線分AMの交点をPとする。 OA↑=a↑、OB↑=b↑とするとき (1)内積a↑・b↑を求めよ (2)OH↑、OP↑をa↑、b↑を用いて表せ (3)OP↑の大きさを求めよ という問題の解き方がわかりません。 数学が苦手で困っています(>_<) なるべく詳しく解答してほしいです。 よろしくお願いします。

  • 数Bのベクトル

    三角形OABにおいて、辺OAを1:2に内分する点をM、線分OBを3:2に内分する点をNとし。線分AN,BM,の交点をPとおく。また。直線OPと線分ABの交点をQとする。 OP→=1/6OA→+1/2OB→なのでOQ→をOA→OB→を用いて表せ わからないので解説おねがいします

  • ベクトルと平面図形の問題です。6

    ベクトルと平面図形の問題です。6 OA=6、OB=4、角AOB=60°である三角形OABにおいて、頂点Aから辺OBに垂線AC、頂点Bから辺OAに垂 線BDをおろす。線分ACと線分BDの交点をHとするとき、OH→をOA→、OB→を用いて表せ。 ヒントまたは解説をお願いします><

  • ベクトル

    三角形OABがあり、辺OBを2:1に内分する点をC、線分ACを3:1に内分する点をDとした時、ODベクトルをOAベクトルとOBベクトルで表せ。また、直線ODとABの交点をPとする時、OPベクトルをOAベクトルとOBベクトルで表せ。 OCベクトル=2/3(OBベクトル)を用いて、ODベクトル=1/2(OBベクトル)+1/4(OAベクトル)となる。ここでOPベクトル=kODベクトルと置いてみたのですが、ここから後の考え方が分かりません。どなたか、OPベクトルの求め方を教えて下さい

  • 平面上のベクトル問題です

    aを1より小さい正の実数、bを正の実数とする。三角形OABにおいて、辺OAを1:aに外分する点をP、辺OBを1:bに内分する点をQとする。辺ABと線分PQの交点をKとし、線分BPと直線OKの交点をLとする。 ※ベクトル省略で表記させていただきます。 (1)OK=【(ア)OA+(イ)OB】/【(ウ)+(エ)】 OL=【(ア)OA+(イ)OB】/【(オ)+(カ)―(キク)】 PK:KQ=S:(1―S) BK:KA=t:(1―t) とおいてみたり、メネラウスの定理を使ったりしてみたのですが、全く分かりません。 ヒントもしくは解説をお願いします!

  • 高2 数学 ベクトル 内積a↑・b↑ 求め方

    △OABがある。辺OA,OBの中点をそれぞれM,Nとし,辺ABを1:2に内分する点をCとする。 また,線分BMと線分CNの交点をPとし,OA↑=a↑,OB↑=b↑する。 直線OPと辺ABの交点をQとするとき,OQ↑をa↑、b↑を用いて表せ。また,|a|=3、|b|=2、|NQ↑|=4分の5(4/5)であるとき、 内積a↑・b↑値を求めよ。 計算したところ、 OQ↑=3/1a↑+3/2b↑になりました 合ってるか不安です(><) 内積a↑・b↑値はわかりません 教えてください、、 図とか汚いんですけど、、 写真に(1)~(3)の問題のせてます。今回(3)がわかりません お願いします┏●

  • ベクトルについて

    △OABにおいてOA=a OB=bとする。OAを2:1に内分する点をP OBを3:2に内分する点をQ BPとAOの交点をRとする。 OA=5 OB=6 AB=9のとき線分ORの長さを求めよ。 お願いします。

  • 交点の位置ベクトルの問題です。

    △OABにおいて、辺OAをt:(1-t)に内分する点をP。 辺OBを(1-t):tに内分する点をQとする。 ただし、0<t<1である。さらに、線分AQとBPの交点をSとし、 直線OSの延長線と辺ABの交点をRとする。 →OA=→a、→OB=→bのとき、→OS、→ORをそれそれ t、→a、→bを用いて表せ。 どうやって解いたらいいのか解らないので教えてください。

  • ベクトルを教えて下さい。

    OA=√2,OB=1である△OABがあり、線分ABを3:2に内分する点をCとする。また、↑OA=↑a,↑OB=↑bとおく。 (1)↑ABを↑a、↑bを用いて表せ。また、↑OCを↑a、↑bを用いて表せ。 (2)OC⊥ABのとき、内績↑a・↑bの値を求めよ。また、このとき|↑OC|、|↑AB|を求めよ。 (3)(2)のとき、辺ABを一辺とする正方形ADEBを直線ABに関して点Oの反対側につくる。線分BEを2:1に内分する点をFとし、直線ODと直線AFの交点をPとする。このとき、↑OFを↑a、↑bを用いて表せ。また、↑OPを↑a、↑bを用いて表せ。 解答を導く手順と解答を教えて下さい。

  • 【至急】数学B ベクトル

    参考書なども見てみたのですがだめでした… わかる方教えてください! (問題) 平面上に互いに異なる3点 O、A、Bがあり、それらは同一線上にないものとする。 OA=2、OB=3とする。 ベクトルOA=ベクトルa、ベクトルOB=ベクトルbとし、その内積を ベクトルa・ベクトルb=t とおく。 ∠OABの二等分線と線分ABとの交点をCとし、直線OAに対して対称な点をDとする。 (1) ベクトルODをt、a、bを用いて表せ。  (2) ベクトルOC⊥ベクトルODとなるとき、∠OABとOCを求めよ。 よろしくお願いします!