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ベクトルと平面図形の問題です。

△OABにおいて、OA=4、OB=3、AB=√13とする。頂点Oから辺ABに垂線OHを下ろす。また、辺OBを2:1に内分する点をMとし、線分OHと線分AMの交点をPとする。 OA↑=a↑、OB↑=b↑とするとき (1)内積a↑・b↑を求めよ (2)OH↑、OP↑をa↑、b↑を用いて表せ (3)OP↑の大きさを求めよ という問題の解き方がわかりません。 数学が苦手で困っています(>_<) なるべく詳しく解答してほしいです。 よろしくお願いします。

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  • 回答No.4
  • yyssaa
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(1)内積a↑・b↑を求めよ > 内積a↑・b↑=|a↑|*|b↑|*cos∠AOB 余弦定理により 13=16+9-2*4*3cos∠AOB、cos∠AOB=1/2 よって内積a↑・b↑=4*3*1/2=6・・・答え (2)OH↑、OP↑をa↑、b↑を用いて表せ > OH^2+AH^2=16・・・・・・・・(ア) OH^2+(√13-AH)^2=9・・(イ) 両式より16-AH^2=9-(√13-AH)^2=-4+2AH√13-AH^2 AH=10/√13・・・・・・・・・・(ウ) Hを通るOBに平行な直線とOAとの交点をNとすると △OABと△NAHは相似。よってNA/OA=AH/AB=NH/OB NA=(10/√13)*4/√13=40/13 NH=(10/√13)*3/√13=30/13 ON=OA-NA=4-40/13=12/13 OH↑=ON↑+NH↑=(ON/OA)a↑+(NH/OB)b↑ ={(12/13)/4}a↑+{(30/13)/3}b↑ =(3/13)a↑+(10/13)b↑・・・答え メネラウスの定理から(OM/MB)*(AB/AH)*(PH/OP)=1 (2/1)*(√13/10/√13)*(PH/OP)=1からPH/OP=5/13 Pを通るOBに平行な直線とOAとの交点をQとすると △OPQと△OHNは相似。よってOQ/ON=OP/OH=PQ/NH PH/OP=5/13からPH=(5/13)OP OH=OP+PH=OP+(5/13)OP=(18/13)OP OP/OH=13/18、OQ=(OP/OH)*ON=(13/18)(12/13)=2/3 PQ=(OP/OH)*NH=(13/18)*(30/13)=5/3 OP↑=OQ↑+QP↑=(OQ/OA)a↑+(QP/OB)b↑=(2/3/4)a↑+(5/3/3)b↑ =(1/6)a↑+(5/9)b↑・・・答え (3)OP↑の大きさを求めよ > (ウ)を(ア)に代入してOH^2=16-100/13=108/13 OP/OH=13/18よりOP=(13/18)√(108/13)=√(13/3)・・・答え

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詳しく教えていただき、ありがとうございました!とても助かりました☆

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  • 回答No.3
  • suko22
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#1です。 すみません。計算ミスしてました。 >(2)AH:HB=s:1-sとおくと、 > OH=(1-s)a+sb >題意よりOH⊥ABなのでOH・AB=0が成り立つ。 > よってOH・AB=OH・(OB-OA)={(1-s)a+sb}・(b-a) >=(1-s)a・b-(1-s)|a|^2+s|b|^2-sa・b >   =(1-s)*6-(1-s)*4^2+s*3^2-s*6=0・・・※ >∴s=7/10 >ゆえに、OH=(3/10)a+(7/10)b・・・答え ※のところの計算。正しく計算するとs=10/13となります。 以下OHの答え、それからそれ以下ずっと(3)まで答えが違ってきます。 やり方はあっているのであとは自分で計算してみてください。

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丁寧に教えていただき、ありがとうございました!本当に助かりました!

  • 回答No.2
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

>△OABにおいて、OA=4、OB=3、AB=√13とする。頂点Oから辺ABに垂線OHを下ろす。また、 >辺OBを2:1に内分する点をMとし、線分OHと線分AMの交点をPとする。 OA↑=a↑、OB↑=b↑とするとき >(1)内積a↑・b↑を求めよ 余弦定理より、 cos∠AOB=(OA^2+OB^2-AB^2)/2・OA・OB =(4^2+3^2-13)/2×4×3 =1/2 a・b=|a||b|cos∠AOB=4×3×(1/3)=6 >(2)OH↑、OP↑をa↑、b↑を用いて表せ AH=xとおくと、BH=√13-x △OADと△OBHは直角三角形だから、 OA^2-AH^2=OH^2=OB^2-BH^2より、 4^2-x^2=3^2-(√13-x)^2 16-x^2=9-(13-2√13x+x^2)より、x=10√13/13 BH=√13-(10√13/13)=3√13/13 だから、AH:HB=10√13/13:3√13/13=10:3 よって、OH=(3/13)a+(10/13)b メネラウスの定理より、 (OM/MB)(BA/AH)(HP/PO)=1より、 (2/1)(13/10)(HP/PO)=1だから、 PH:OP=5:13から、OP:OH=13:18 よって、 OP=(13/18)OH=(13/18)(3/13)a+(13/18)(10/13)b =(1/6)a+(5/9)b >(3)OP↑の大きさを求めよ |OP|^2=|(1/6)a+(5/9)b|^2 =(1/36)|a|^2+2×(1/6)×(5/9)(a・b)+(25/81)|b|^2 =(1/36)×16+2×(1/6)×(5/9)×6+(25/81)×9 =(4/9)+(10/9)+(25/9) =39/9より、 |OP|=√39/3

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丁寧に教えてくれて、ありがとうございました。とても助かりました!

  • 回答No.1
  • suko22
  • ベストアンサー率69% (325/469)

以下、ベクトル記号は省略します。 まずは図を描いてみてください。 (1)∠AOBを求めるために余弦定理を三角形ABCに利用する。  √13^2=4^2+3^2-2*4*3*cos∠AOB  cos∠AOB=12/24=1/2 よって∠AOB=60°  a・b=|a||b|cos∠AOB=4*3*(1/2)=6・・・答え (2)AH:HB=s:1-sとおくと、  OH=(1-s)a+sb 題意よりOH⊥ABなのでOH・AB=0が成り立つ。  よってOH・AB=OH・(OB-OA)={(1-s)a+sb}・(b-a) =(1-s)a・b-(1-s)|a|^2+s|b|^2-sa・b    =(1-s)*6-(1-s)*4^2+s*3^2-s*6=0 ∴s=7/10 ゆえに、OH=(3/10)a+(7/10)b・・・答え  AP:PH=t:1-tとおくと、  OP=(1-t)a+tOM 題意よりOM=(2/3)OB=(2/3)b OP=(1-t)a+(2t/3)b・・・i また、点Pは線分AH上にあるから、   OP=uOH =u(3/10a+7/10b) =(3u/10)a+(7u/10)b・・・ii  i、iiより   1-t=3u/10, 2t/3=7u/10 この連立方程式を解くと、   t=7/9,u=20/27 よって、OP=(2/9)a+(14/27)b (3)|OP|^2=OP・OP={(2/9)a+(14/27)b}・{(2/9)a+(14/27)b} =(4/81)|a|^2+(2*2*14/(9*27))a・b+(196/729)|b|^2 =(4/81)*4^2+(56/243)*6+(196/729)*3^2 =(64+112+196)/81=372/81 |OP|>0より|OP|=(2/9)√93 計算は自分で確認するようにしてください。

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