解答求む！数Ｂ！

質問

数Bベクトルの問題です。

△OABにおいて、辺OAを２：１に内分する点をL，
辺OBを２：３に内分する点をM，
辺ABの中点をNとする。
線分LMと線分ONとの交点をPとするとき，
ベクトルOPを
ベクトルOA＝ベクトルa
ベクトルＯＢ＝ベクトルbを用いて表せ。

という問題です。
一応図形も載せておきます。
解答方法をよろしくお願いします！

回答No.3

noname#157574

一次独立：二つのベクトルとも零ベクトルでなく，かつ互いに平行でないこと

回答No.2

han-ten

ベクトルの矢印は省かせていただきます。

OL=2/3OA、OM=2/5OB、ON=1/2OA+1/2OB
PはLM上にあるので
OP=sOL+(1-s)OM
=2s/3OA+2(1-s)/5OB　　と表せる　　……(1)
また、PはON上にあるので、ある実数kを用いて
OP=kON
=k/2OA+k/2OB　　　と表せる　　……(2)
OAとOBは一次独立であるから（←ここ重要！）、(1)と(2)で係数比較して
2s/3=2(1-s)/5

あとはsを求めて(1)の式に代入すれば解けます

この問題で問われているのはベクトルの基本の部分であり、大事なところですから、自分で解けないようであれば教科書をしっかりと読みなおすことをおすすめします。

回答No.1

gohtraw

ＮがＡＢの中点であることから、
ＯＮ＝（ＯＡ＋ＯＢ）／２　・・・（１）　
です（ベクトル記号は省略します）。

一方、ＯＰは
ＯＰ＝（ｎＯＬ＋ｍＯＭ）／（ｎ＋ｍ）　・・・（２）
と表され、
ＯＬ＝２ＯＡ／３
ＯＭ＝２ＯＢ／５
なのでこれらを（２）に代入すると
ＯＰ＝（２ｎＯＡ／３＋２ｍＯＢ／５）／（ｎ＋ｍ）
　　＝（１０ｎＯＡ＋６ｍＯＢ）／１５（ｎ＋ｍ）　・・・（２）’
ＰはＯＮ上の点なので、ｔを実数として
ＯＰ＝ｔＯＮ
でなくてはならず、（１）と（２）’の係数を比較すると
１０ｎ／（ｎ＋ｍ）＝６ｍ／（ｎ＋ｍ）
１０ｎ＝６ｍ
ｎ＝３ｍ／５
これを（２）’に代入すればＯＰがＯＡおよびＯＢで表せます。