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ベクトル

模試の過去問を学校から宿題が出て やってるんですけど、少し戸惑ったので教えていただきたいのと、 途中まであっているか見て欲しいです! 問題↓ 平面上に△OABがあり、OAベクトル=aベクトル、OBベクトル=bベクトルとする。 辺OAの中点をC、辺OBを1:2に内分する点をD、辺ABを3:1に内分する点をEとする。 また線分CE上に点Pをとり、CP:PE=s:(1-s)(sは実数)とする。 1.OEベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。またOPベクトルをs,aベクトル,bベクトル   を用いて表せ。 2.点Pが線分CEとADの交点であるときOPベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。 3.問2のときOA=4、OB=3、∠AOB=60°とし、直線OPと辺ABの交点をQとする。   点Qから直線OAに垂線をひき、交点をRとする。ORベクトルをaベクトルを用いて表せ。 という問題で、1番はそれぞれOEベクトル=(aベクトル+3bベクトル)/4、 OPベクトル=1/2(1-s)aベクトル+s(aベクトル+3bベクトル)/4とでました。 それ以降の解き方など教えて欲しいです。 よろしくお願いします。

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  • ferien
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>問題↓ >平面上に△OABがあり、OAベクトル=aベクトル、OBベクトル=bベクトルとする。 >辺OAの中点をC、辺OBを1:2に内分する点をD、辺ABを3:1に内分する点をEとする。 >また線分CE上に点Pをとり、CP:PE=s:(1-s)(sは実数)とする。 >1.OEベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。またOPベクトルをs,aベクトル,bベクトル >  を用いて表せ。 >1番はそれぞれOEベクトル=(aベクトル+3bベクトル)/4、 >OPベクトル=1/2(1-s)aベクトル+s(aベクトル+3bベクトル)/4とでました。 続きから、 OF=(1/4)a+(3/4)b OC=(1/2)OA=(1/2)aより、 OP=(1-s)OC+sOE =(1-s)・(1/2)a+s・{(1/4)a+(3/4)b} ={(1/2)-(1/4)s}a+(3/4)s・b ……(1) >2.点Pが線分CEとADの交点であるときOPベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。 A,P,Dは、一直線上にあるから、AP=kADとおける。 AD=(2/3)AO+(1/3)AB =-(2/3)OA+(1/3)(OB-OA) =-a+(1/3)bより、 AP=k{-a+(1/3)b}だから、 OP=OA+k{-a+(1/3)b} =(1-k)a+(1/3)k・b ……(2) (1)(2)より、係数比較すると、 (1/2)-(1/4)s=1-k,(3/4)s=(1/3)k を連立で解くと、 s=1/4,k=9/16 よって、(2)より、 OP=(7/16)a+(3/16)b >3.問2のときOA=4、OB=3、∠AOB=60°とし、直線OPと辺ABの交点をQとする。 >  点Qから直線OAに垂線をひき、交点をRとする。ORベクトルをaベクトルを用いて表せ。 OA・OB=|OA||OB|cos∠AOB だから、 a・b=4×3×cos60°=12×(1/2)=6 AQ:QB=t:(1-t)とすると、 OQ=(1-t)OA+tOB =(1-t)a+t・b ……(3) O,P,Qは、一直線上にあるから、OQ=mOPとおける。 OQ=m{(7/16)a+(3/16)b} =(7/16)m・a+(3/16)m・b ……(4) (3)(4)より、係数比較すると、 1-t=(7/16)m,t=(3/16)m を連立で解くと、 m=8/5,t=3/10 よって、(3)より、 OQ=(7/10)a+(3/10)b RはOA上の点だから、OR=nOA=n・aとおける。 RQ=OQ-OR={(7/10)a+(3/10)b}-n・a ={(7/10)-n}a+(3/10)b OAとRQは垂直だから、RQ・OA=0より、 [{(7/10)-n}a+(3/10)b]・a =(7/10)・|a|^2-n・|a|^2+(3/10)(a・b) =(7/10)・16-16n+(3/10)・6=0だから、 n=13/16 よって、OR=(13/16)a 図を描いて、計算など確認してみて下さい。 、

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  • 回答No.3
  • yyssaa
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ベクトルを↑で表します。 1.OEベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。またOPベクトルをs,aベクトル,bベクトル   を用いて表せ。 OE↑=a↑+(3/4)AB↑=a↑+(3/4)(b↑-a↑)=(1/4)a↑+(3/4)b↑・・・答え 2.点Pが線分CEとADの交点であるときOPベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。 OP↑=(1/2)a↑+sCE↑=(1/2)a↑+s{(1/2)a↑+(3/4)(b↑-a↑)} ={(1/2)-(1/4)s}a↑+(3/4)sb↑ sの値を求めるために、△BDEの面積を1として、以下、各三角形の 面積を計算すると、△AED=3、△OAD=(1/2)△ABD=(1/2)(1+3)=2、 △OCD=△ADC=(1/2)△OAD=(1/2)*2=1、よって△ADC/△AED=1/3。 △ADCと△AEDはADを共有するのでその面積比はCPとPEの比になる ので、CP/PE=s/(1-s)=1/3から3s=1-s、s=1/4。これを代入して OP↑={(1/2)-(1/4)*(1/4)}a↑+(3/4)*(1/4)b↑ =(7/16)a↑+(3/16)b↑=(7a↑+3b↑)/16・・・答え 3.問2のときOA=4、OB=3、∠AOB=60°とし、直線OPと辺ABの交点をQとする。   点Qから直線OAに垂線をひき、交点をRとする。ORベクトルをaベクトルを用いて表せ。 u、vを定数として、OQ↑=u↑OP、AQ↑=v↑ABとおくと、 OQ↑=u{(7/16)a↑+(3/16)b↑}=a↑+AQ↑=a↑+v(b↑-a↑) =(1-v)a↑+vb↑ a↑、b↑の係数を比較して7u/16=1-v、3u/16=v、これを解いて u=8/5、v=3/10 BからOAに下ろした垂線の足をB'とするとOB'=3cos(π/3)=3/2 よってAB'=OA-OB'=4-3/2=5/2 △AQR∽△ABB'なので、AR/AB'=AQ/AB=3/10から AR=(3/10)*(5/2)=3/4、よってOR=OA-AR=4-3/4=13/4 以上からOR↑={(13/4)/4}a↑=(13/16)a↑・・・答え

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  • 回答No.1

その調子でいいと思います. ・OPはa,bについて整理しておきましょう. ・2ではPがAD上にある条件つまりAP:PD=t:(1-t)とおいてみる.そうしてOPの2通りの表現からa,bの一次独立からs,tをだす. ・3ではOQは,OPのa,bの式からQがAB上であることを使って,a,bで表せます.すると,OR=kaとおいてRQ・OA=0からkがでます.

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