位置ベクトル

質問

△OABにおいてベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOBとする。
辺OAの中点をM,辺OBを2:1に内分する点をNとする。
直線ANとBMの交点をPとする。
ベクトルOPをベクトルa,ベクトルbで表すと、ベクトルOP=ア/イ ベクトルa+ウ/エ ベクトルbである。
また点Pは線分ANをオ:カに内分する点である。

この問いの解き方、解説を教えてください。

答えはベクトルOP=1/4ベクトルa+1/2ベクトルb、PはANを3:1に内分
となるようです。

回答No.3

178-tall

「題意」から、
　OM = a/2
　ON = 2b/3

O から、N, A を結ぶ直線上の点 R に向かうベクトル OR は、
　OR = ON + s(a-ON) = (2b/3) + s{a - (2b/3) }
　= (1-s)(2b/3) + sa　　…(1)　； s は実係数

O から、M, B を結ぶ直線上の点 Q に向かうベクトル OQ は、
　OQ = OM + t(b - OM) = (a/2) + t{b - (a/2) }
　= (1-t)a/2 + tb　　…(2)　； t は実係数

OR と OQ の交点 P は？
(1) = (2) を満たす点だから、
　(1-s)(2b/3) + sa = (1-t)a/2 + tb
　(1-2s-t)a/2 - (1-s-3t/2)(2b/3) = 0
　　　　↓ a と b が平行でなけりゃ、
　1-2s-t = 0　＆　1-s-(3t/2) = 0
　　　　　　　　↑ これを連立で解くと、
　s=1/4, t=1/2

つまり、
　OP = (3/4)(2b/3) + (1/4)a = (1/4)a + (1/2)b
また (1) により、
　NP = OP-ON = s*NA = (1/4)*NA

回答No.2

noname#231363

これはベクトルの問題ですが、まずはベクトルを離れて考えます。
なお、ベクトルa=a→、ベクトルb=b→のように表します。
そして、全ての場合について、OP→=(ア/イ)a→+(ウ/エ)b→と表せるのであれば、
ある特定の場合についても、OP→=(ア/イ)a→+(ウ/エ)b→と表せることになります。

xy平面上で直角三角形OABを考え、頂点Oの座標を原点(0,0)、頂点Aの座標を(8,6) 、頂点Bの座標を(8,0)とします。（辺OBはx軸上）
このとき、点Mの座標は(4,3)、点Nの座標は(16/3,0) になります。
これから、
直線ANの方程式は、y=6(x-16/3)/(8-16/3) =9x/4-12－(1)
直線BMの方程式は、y=-3(x-8)/(8-4) =-3x/4+6－(2)
式(1)(2)から、直線ANと直線BMの交点Pの座標は(6,3/2)

ここで、ベクトルに戻って考えると、上の場合にb→のy成分は0であるから、OP→のy成分はa→のy成分のみによることになるので、
OP→=(ア/イ)a→+(ウ/エ)b→におけるa→の係数(ア/イ)は(3/2)/6=1/4－(3)
※式(3)：交点Pのy座標/頂点Aのy座標
また、b→の係数(ウ/エ)は(6-8/4)/8=1/2－(4)
※式(4)：(交点Pのx座標-頂点Aのx座標×a→の係数)/ 頂点Bのx座標
さらに、交点Pは線分ANを(1-1/4)：1/4=3：1(オ：カ)に内分する点になります。

回答No.1

asuncion

OP→ = OA→ + AP→ = a→ + s・AN→ ... (1)
AN→ = (AO→ + 2AB→) / 3 = (-a→ + 2(b→ - a→) / 3 = (-3a→ + 2b→) / 3 ... (2)
(1)(2)より
OP→ = a→ + s・(-3a→ + 2b→) / 3 = ((3 - 3s)・a→ + 2s・b→) / 3 ... (3)
OP→ = OB→ + BP→ = b→ + t・BM→ ... (4)
BM→ = (BO→ + BA→) / 2 = (-b→ + a→ - b→) / 2 = (a→ - 2b→) / 2 ... (5)
(4)(5)より
OP→ = b→ + t・(a→ - 2b→) / 2 = (t・a→ + 2(1 - t)・b→) / 2 ... (6)
(3)(6)より
2(3 - 3s) = 3t, 6 - 6s = 3t, 2 - 2s = t ... (7)
4s = 6(1 - t), 4s = 6 - 6t, 2s = 3 - 3t ... (8)
(8)を(7)に代入して
2 - 3 + 3t = t, 2t = 1, t = 1/2
∴OP→ = b→ + t・(a→ - 2b→) / 2 = (a→/2 + b→) / 2 = a→/4 + b→/2
t = 1/2を(8)に代入して
2s = 3 - 3/2 = 3/2, s = 3/4
AP→ = 3・AN→ / 4であるから、点PはANを3:1に内分