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位置ベクトル

△OABにおいてベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOBとする。 辺OAの中点をM,辺OBを2:1に内分する点をNとする。 直線ANとBMの交点をPとする。 ベクトルOPをベクトルa,ベクトルbで表すと、ベクトルOP=ア/イ ベクトルa+ウ/エ ベクトルbである。 また点Pは線分ANをオ:カに内分する点である。 この問いの解き方、解説を教えてください。 答えはベクトルOP=1/4ベクトルa+1/2ベクトルb、PはANを3:1に内分 となるようです。

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  • 回答No.3

「題意」から、  OM = a/2  ON = 2b/3 O から、N, A を結ぶ直線上の点 R に向かうベクトル OR は、  OR = ON + s(a-ON) = (2b/3) + s{a - (2b/3) }  = (1-s)(2b/3) + sa  …(1) ; s は実係数 O から、M, B を結ぶ直線上の点 Q に向かうベクトル OQ は、  OQ = OM + t(b - OM) = (a/2) + t{b - (a/2) }  = (1-t)a/2 + tb  …(2) ; t は実係数 OR と OQ の交点 P は? (1) = (2) を満たす点だから、  (1-s)(2b/3) + sa = (1-t)a/2 + tb  (1-2s-t)a/2 - (1-s-3t/2)(2b/3) = 0     ↓ a と b が平行でなけりゃ、  1-2s-t = 0 & 1-s-(3t/2) = 0         ↑ これを連立で解くと、  s=1/4, t=1/2 つまり、  OP = (3/4)(2b/3) + (1/4)a = (1/4)a + (1/2)b また (1) により、  NP = OP-ON = s*NA = (1/4)*NA   

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  • 回答No.2
noname#231363
noname#231363

これはベクトルの問題ですが、まずはベクトルを離れて考えます。 なお、ベクトルa=a→、ベクトルb=b→のように表します。 そして、全ての場合について、OP→=(ア/イ)a→+(ウ/エ)b→と表せるのであれば、 ある特定の場合についても、OP→=(ア/イ)a→+(ウ/エ)b→と表せることになります。 xy平面上で直角三角形OABを考え、頂点Oの座標を原点(0,0)、頂点Aの座標を(8,6) 、頂点Bの座標を(8,0)とします。(辺OBはx軸上) このとき、点Mの座標は(4,3)、点Nの座標は(16/3,0) になります。 これから、 直線ANの方程式は、y=6(x-16/3)/(8-16/3) =9x/4-12-(1) 直線BMの方程式は、y=-3(x-8)/(8-4) =-3x/4+6-(2) 式(1)(2)から、直線ANと直線BMの交点Pの座標は(6,3/2) ここで、ベクトルに戻って考えると、上の場合にb→のy成分は0であるから、OP→のy成分はa→のy成分のみによることになるので、 OP→=(ア/イ)a→+(ウ/エ)b→におけるa→の係数(ア/イ)は(3/2)/6=1/4-(3) ※式(3):交点Pのy座標/頂点Aのy座標 また、b→の係数(ウ/エ)は(6-8/4)/8=1/2-(4) ※式(4):(交点Pのx座標-頂点Aのx座標×a→の係数)/ 頂点Bのx座標 さらに、交点Pは線分ANを(1-1/4):1/4=3:1(オ:カ)に内分する点になります。

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  • 回答No.1
  • asuncion
  • ベストアンサー率32% (1872/5693)

OP→ = OA→ + AP→ = a→ + s・AN→ ... (1) AN→ = (AO→ + 2AB→) / 3 = (-a→ + 2(b→ - a→) / 3 = (-3a→ + 2b→) / 3 ... (2) (1)(2)より OP→ = a→ + s・(-3a→ + 2b→) / 3 = ((3 - 3s)・a→ + 2s・b→) / 3 ... (3) OP→ = OB→ + BP→ = b→ + t・BM→ ... (4) BM→ = (BO→ + BA→) / 2 = (-b→ + a→ - b→) / 2 = (a→ - 2b→) / 2 ... (5) (4)(5)より OP→ = b→ + t・(a→ - 2b→) / 2 = (t・a→ + 2(1 - t)・b→) / 2 ... (6) (3)(6)より 2(3 - 3s) = 3t, 6 - 6s = 3t, 2 - 2s = t ... (7) 4s = 6(1 - t), 4s = 6 - 6t, 2s = 3 - 3t ... (8) (8)を(7)に代入して 2 - 3 + 3t = t, 2t = 1, t = 1/2 ∴OP→ = b→ + t・(a→ - 2b→) / 2 = (a→/2 + b→) / 2 = a→/4 + b→/2 t = 1/2を(8)に代入して 2s = 3 - 3/2 = 3/2, s = 3/4 AP→ = 3・AN→ / 4であるから、点PはANを3:1に内分

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