【ベクトルの問題です】

質問

3辺の長さがOA=２、OB=３、AB=√7のさんかくけいOABがある。

辺OAの中点Mとし、Bを始点とする半直線BM上にBP=ｔBMとなる点Pをとり、
OAベクトル(以下→)=a→、OB→=ｂ→とする。

(1)OP→をa→、ｂ→、ｔを用いて表せ。

(2)内積a→・ｂ→を求めよ。

(3)AP⊥BMとなるとき、ｔの値を求めよ。

解ける方いますか(:ω:)

お願いします。

回答No.3

ferien · ベストアンサー

＞3辺の長さがOA=２、OB=３、AB=√7のさんかくけいOABがある。
＞辺OAの中点Mとし、Bを始点とする半直線BM上にBP=ｔBMとなる点Pをとり、
＞OAベクトル(以下→)=a→、OB→=ｂ→とする。
｜ａ｜＝２，｜ｂ｜＝３　ＯＭ＝(1/2)ＯＡ＝(1/2)ａ

＞(1)OP→をa→、ｂ→、ｔを用いて表せ。
BP=ｔBMより、
ＯＰ－ＯＢ＝ｔ（ＯＭ－ＯＢ）
ＯＰ＝ｔＯＭ－ｔＯＢ＋ＯＢ
　　＝ｔＯＭ＋（１－ｔ）ＯＢ
　　＝(1/2)ｔａ＋（１－ｔ）ｂ

＞(2)内積a→・ｂ→を求めよ。
余弦定理より、
cos∠ＡＯＢ＝（２^2＋３^2－（√7）^2）／２×２×３＝６／１２＝１／２
（ａ・ｂ）＝｜ａ｜｜ｂ｜cos∠ＡＯＢ＝２×３×(1/2)＝３

＞(3)AP⊥BMとなるとき、ｔの値を求めよ。
ＡＰ＝ＯＰ－ＯＡ
　　＝｛(1/2)ｔａ＋（１－ｔ）ｂ｝－ａ
　　＝｛（1/2)ｔ－１｝ａ＋（１－ｔ）ｂ
ＢＭ＝ＯＭ－ＯＢ
　　＝（1/2)ａ－ｂ
（ＡＰ・ＢＭ）＝０だから、
（ＡＰ・ＢＭ）
＝［｛（1/2)ｔ－１｝ａ＋（１－ｔ）ｂ］・｛（1/2)ａ－ｂ｝
＝(1/2)｛（1/2)ｔ－１｝｜ａ｜^2－｛（1/2)ｔ－１｝（ａ・ｂ）
　　＋(1/2)（１－ｔ）（ａ・ｂ）－（１－ｔ）｜ｂ｜^2
＝(1/2)｛（1/2)ｔ－１｝・２^2＋（3/2－ｔ）・３＋（ｔ－１）・３^2
＝７ｔ－13/2
＝０
よって、ｔ＝１３／１４

回答No.2

asuncion

おっと失礼。

＞BP→ｔ・BM→ …… (3)

これは、当然
BP→=ｔ・BM→ …… (3)
が正しいですね。等号が抜けていました。

回答No.1

asuncion

(1)
図を描いてみましたか？
b→+BP→=OP→ …… (1)
b→+BM→=a→/2 …… (2)
BP→ｔ・BM→ …… (3)

(3)から、BM→を、BP→を使った式に変換します。
それを(2)に代入します。
(1)と(2)を使ってBP→を消去すれば、OP→がa→、b→、tを使って表わせるはずです。

(2)
△OABの3辺の長さがわかっているので、余弦定理か何かを使えば
∠AOB（の余弦）が求まるはずです。その値を使えば、内積が求まるはずです。

(3)
AP→とBM→が垂直となるのは、内積が0のときです。
AP→とBM→をa→、b→、tを使って表わすことができれば、
内積が0であることや(2)で求めた内積値などを利用してtの値が求まるはずです。