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ベクトル

1辺の長さが1の正四面体OABCで、辺OAをt:(1-t)に内分する点をD、辺BCの中点をE、辺DEを 1:3に内分する点をFとするまた、a→=OA→、b→=OB→、c→=OC→とおく。 内積OF→・DE→をtの式でで表せ。 という問題なんですが、全然わからないので教えてください。 お願いします。

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  • 回答No.2
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

OD→+DE→=OB→+(1/2)BC→ OD→=ta→ BC→=OC→-OB→=c→-b→ よってDE→=b→+(1/2)(c→-b→)-ta→=-ta→+(1/2)(b→+c→) OD→+DF→=OF→ DF→=(1/4)DE→ よってOF→=ta→+(1/4){-ta→+(1/2)(b→+c→)} =(3/4)ta→+(1/8)(b→+c→) OF→・DE→ ={(3/4)ta→+(1/8)b→+(1/8)c→}・{-ta→+(1/2)b→+(1/2)c→} =-(3/4)t^2a→・a→+(3/8)tb→・a→+(3/8)tc→・a→ -(1/8)ta→・b→+(1/16)b→・b→+(1/16)c→・b→ -(1/8)ta→・c→+(1/16)b→・c→+(1/16)c→・c→ ここでa→・a→=b→・b→=c→・c→=1 b→・a→=c→・a→=a→・b→=c→・b→=a→・c→=b→・c→ =1*1cosπ/3=1/2 よってOF→・DE→=-(3/4)t^2+(3/16)t+(3/16)t -(1/16)t+(1/16)+(1/32)-(1/16)t+(1/32)+(1/16) =-(3/4)t^2+(1/4)t+(3/16)・・・答え 計算ミスご容赦!

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質問者からのお礼

教えていただきありがとうございました!! 答えもあっていました!! 本当に助かりました。

その他の回答 (2)

  • 回答No.3
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

各点の位置ベクトルを、点の名前で書くことにします。 |A| = |B| = |C| = 1, A・B = B・C = C・A = cos(π/3), D = tA, E = (B + C)/2, F = (3D + E)/4 という設定ですね。 F・(E-D) = { (3D + E)/4 }・(E - D) = (1/4){ 3D + (B + C)/2 }・{ (B + C)/2 - D } = (1/16){ 6D + B + C }・{ B + C - 2D } = (1/16){ 6tA + B + C }・{ B + C - 2tA } = (1/16){ 6tA・B +6tA・C -12(t^2)A・A +B・B +B・C -2tB・A +C・B +C・C -2tC・A } = (1/16){ 6t(1/2) +6t(1/2) -12(t^2) +1 +(1/2) -2t(1/2) +(1/2) +1 -2t(1/2) } = (1/16){ -12(t^2) +4t +3 } No.2 の答えが、合っているようです。

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質問者からのお礼

問題を解いていただきありがとうございました!! 答えも途中式も完璧で助かりました。 本当にありがとうございました!!

  • 回答No.1
  • k3eric
  • ベストアンサー率38% (8/21)

OD→、OE→、OF→を OA→、OB→、OC→を用いて表す。 OD→  = tOA→ OE→  = (1/2)OB→ + (1/2)OC→ OF→  = {1/(3+1)}{3・OD→ + 1・OE→}  = (1/4)(3・OD→ + OE→)  = (1/4){3t・OA→ + (1/2)・OB→ + (1/2)・OC→}  = (1/8)(6t・OA→ + OB→ + OC→) DE→  = OE→ ‐ OD→  = (1/2)OB→ + (1/2)OC→ ‐ tOA→  = (1/2)(‐2t・OA→ + OB→ + OC→) OF→・DE→  = (1/16)(6t・OA→ + OB→ + OC→)(‐2t・OA→ + OB→ + OC→) OA、OB、OC=1 OA→、OB→、OC→はどれも大きさ1で、2つのベクトルのなす角は60°なので (内積)=1・1・cos(60)=1/2。 OF→・DE→  = (1/16)*{(-12tt + 3t + 3t) + (-t + 1/2 + 1/2) + (-t + 1/2 + 1/2)}  = (1/16)*(-12tt + 4t + 2)  = (1/ 8)*{-8tt + 2t + 1) ∴OF→・DE→ = (1/ 8)*{-8tt + 2t + 1) #こんな感じになると思います。

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