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ベクトル

平行四辺形OABCの辺OAを2:1に内分する点をD、対角線OBを2:5に内分する点をE、 辺OCの中点をFとする。 (1)三点D,E,Fは一直線上にあることを示せ DF→=kDE→がヒントになっているのですがわかりません。 この問題の解き方を教えてください。

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  • suko22
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点Oを位置ベクトルの始点とする。 辺OAを2:1に内分する点がDだから、 OD→=2/3OA→・・・※1 辺OCを1:1に内分する点がFだから、 OF→=1/2OC→・・・※2 四角形OABCは平行四辺形であるから、ベクトルの足し算の性質より OB→=OA→+OC→・・・※3 辺OBを2:5に内分する点がEであるから、 OE→=2/7OB→  これに※3を代入    =2/7OA→+2/7OC→・・・※4 ここで、 DE→=OE→-OD→    =2/7OA→+2/7OC→-2/3OA→ (∵※4と※1を代入)    =-8/21OA→+2/7OC→・・・※5 DF→=OF→-OD→    =1/2OC→-2/3OA→ (∵※1と※2を代入)    =-2/3OA→+1/2OC→・・・※6 ※5と※6を比較。 DF→がDE→の何倍になっているかを調べる。 ------------------ OA→の係数を比較 -8/21t=-2/3 t=(-2/3)*(-21/8)=4/7 OCの係数を比較 2/7t’=1/2 t’=1/2*7/2=7/4 よって、 DF→=7/4DE→ ----------------- 点線部分は計算用紙にやればいいです。答案に書く必要はありません。 ゆえに点D,E,Fは一直線上にある。 (補足:DF→とDE→は式の形より平行であることがわかる。また始点が点Dで共通だから、DF→とDE→は重なる。よって結論がいえる) 解答方針:まず図を描いてください。図を見ながらたんたんを式を立てていけばいいです。 方針は位置ベクトルの始点をまずきめる。この問題では点Oを始点に取ります。 D,E,Fが一直線上ということはDF→=kDE→が成り立つことを示せばよい。 DF→=OF→-OD→=・・・ DE→=OE→-OD→=・・・ という感じで表し,最終的にDF→=○DE→がいえればOK。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 他の問題もこのやり方でやってみたいと思います。

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>平行四辺形OABCの辺OAを2:1に内分する点をD、対角線OBを2:5に内分する点をE、辺OCの中点をFとする。 >(1)三点D,E,Fは一直線上にあることを示せ 事務的にいきそうな、「二点 D, F を結ぶ直線が対角線 OB を内分する比」を勘定してみる。 点 O を起点として、ベクトル OA ならベクトル a 、などと略記する。 DF 間のベクトル e は、0≦k≦1 として、  e = (2/3)*a + k*{(1/2)*c - (2/3)*a}   = (2/3)(1-k)*a + (k/2)*c   …(*) ベクトル e が ベクトル b = a+c のスカラー倍 s になるのは、  e = s*(a+c)     …(**) (*) と (**) を連立させて (平行四辺形がペチャンコでなければ)  (2/3)(1-k) = (k/2) = s  k = 4/7  s = 2/7 (2:5 に内分) …てな調子 (やや、斜め進み気味)。    

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