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ベクトル(数B)の問題教えてください

 平行四辺形OABCの辺OAを1:3に内分する点をD,対角線ACと線分DBの交点をP,直線OPと辺ABとの交点をQとする。  OPベクトルをOAベクトル、OCベクトルを用いて表せ。

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  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

△ADP∽△CBP 相似比AD/CB=AD/OA=3/(1+3)=3/4 ∴AP/PC=3/4 Pは線分ACを3:4に内分する点であるから OP↑=(4OA↑+3OC↑)/(3+4)=(4/7)OA↑+(3/7)OC↑ (ベクトルを↑を付けて表す。)

参考URL:
http://www.ravco.jp/cat/view.php?cat_id=6615

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 早い回答ありがとうございます。

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  • 回答No.3
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

淡々と、型通りに処理しよう。 何も考えずにただ計算するのが、ベクトル幾何の流儀。 線分 MN を a:b に内分する点が L なら、 ベクトルOL = (b/(a+b))ベクトルOM + (a/(a+b))ベクトルON. これは覚えておくべき式だが、確認したければ、 ベクトルML = (a/(a+b))ベクトルMN を変形して導ける。 t = a/(a+b) と置けば、直線のパラメータ表示になるし、 更に M = O とすれば、原点を通る直線も扱える。 この一本の公式を使って… ベクトルOD = (1/4)ベクトルOA,        …[1] ベクトルOP = (1-s)ベクトルOA + sベクトルOC, …[2] ベクトルOP = (1-t)ベクトルOB + tベクトルOD. …[3] ベクトルOQ = uベクトルOP,          …[4] ベクトルOQ = (1-v)ベクトルOA + vベクトルOB. …[5] また、OABC が平行四辺形であることより、 ベクトルOB = ベクトルOA + ベクトルOC.    …[6] [2][3] から ベクトルOP を消去、 [4][5][1] から ベクトルOQ, OP を消去し、 [1][6] を使って両式から ベクトルOB, OD を消去すれば、 ベクトルOA, OC が一次独立であることから、 s, t, u, v についての連立一次方程式になる。 {(1-s)-(1-t)-t/4}ベクトルOA + {s-(1-t)}ベクトルOC = 0ベクトル, {u(1-s)-(1-v)-v}ベクトルOA + {us-v}ベクトルOC = 0ベクトル. より (1-s)-(1-t)-t/4 = 0,  …[10] s-(1-t) = 0,      …[11] u(1-s)-(1-v)-v = 0,  …[12] us-v = 0.       …[13] [10][11] を解いて、s = 3/7, t = 4/7. これを [12][13] へ代入して解くと、u = 7/4, v = 3/4. 値を [2][4] へ戻せば、 ベクトルOP = (4/7)ベクトルOA + (3/7)ベクトルOC, ベクトルOQ = ベクトルOA + (3/4)ベクトルOC.

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 丁寧にありがとうございます。問題は解決しました。

  • 回答No.2
  • USB99
  • ベストアンサー率53% (2221/4130)

回答としては回答1が優れているけど、別解としては pは線分AC上にあるから0Aベクトルをa、OCベクトルをbとして OP=ta+(1―t)bとかける。 又、DB上にあるから OP=(1―s)OD+sOB=(1-s)・a/4+s(a+b)=(1+3s)/4・a+sb よって、a,bの係数は等しくなければならないから t=(1+3s)/4、1―t=s これを解いて s=3/7、t=4/7 ∴OP=4/7a+3/7b Qがかわいそうだから メネラウスの定理よりOD/OA・PB/DP・QA/BQ=1 すなわち1/4・4/3・QA/QB=1 ∴QA/QB=3 ∴ OQ=3/4OB+1/4OA=3/4(a+b)+1/4a=...

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