ベクトルが垂直のときの内積の問題について

質問

一辺の長さが１の正四面体OABCにおいて、辺ABの中点をM、△OBCの重心をGとし、OA→＝a→、OB→＝ｂ→、OC→＝ｃ→とする。

問）辺OA上に、∠MGP＝９０°となる点Pをとる。このときOP→＝ｔａ→として、ｔの値を求めよ。

という問題です。ＧＰ→・ＧＭ→＝０として計算した場合答えがｔ＝1/5と出て、正解だったんですが、ひとつ疑問があります。このＧＰ→・ＧＭ→＝０の「ＧＭ→」の部分を「ＭＧ→」として計算することは不可能なのでしょうか？（自分でやったら答えが出ませんでした）
内積＝０を利用するときに向きを考えなければならないのでしょうか？教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

回答No.1

grasshopper59 · ベストアンサー

この場合向きは考慮しなくて良いと思います。
なぜなら、この条件にいおいては、直線MGと直線GPが
垂直に交わっているからです。
という事は、それを書いてもらえば当然向きをどっちに取ろうと、
垂直になっています。

それと、確認したところ、ちゃんと後者のやり方で
正しい答えが出ました。
頑張ってください。

補足

回答ありがとうございます！

＞それと、確認したところ、ちゃんと後者のやり方で
正しい答えが出ました。

もう一度やってみたんですが、出ませんでした。
もしよろしければ計算のコツとかを教えていただけませんでしょうか？

回答No.2

grasshopper59

どうも、＃1です。
補足を拝見いたしました。

基本的なやり方は、前者も後者もほとんど同じなはずですが・・・
前者のやり方でもう出来ているならば、ＧＰベクトルも
ＧＭベクトルも表せていますよね？
そうしたら、ＧＭベクトルの逆方向がＭＧベクトルですので、
マイナスをつければ簡単にＭＧベクトルも表すことができると思います。
後はＭＧベクトルＧＰベクトルの内積をと根気よく計算をしていくだけですので・・・
コツはあまりないかなぁ。
分数になるのが嫌いでしたら、さきに分数を払ってしまう事くらいでしょうか。

頑張ってください。