ベクトルの性質と四面体の関係
- ベクトルOA=OB=OC=4で、角AOB=60°、角BOC=角COA=45°を満たす四面体OABCについて考えます。
- 内積a・=8、内積b・c=c・a=8√2となります。
- 点Pを辺OA上に、点Qを辺OB上に取り、辺OCの中点をMとします。三角形MPQの重心G、外分点Rを求め、さらに条件を満たす場合の四面体OPQMの体積を求めます。
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OA=OB=OC=4,角AOB=60°,角BOC=角COA=45°を満たす四面体OABCがあり、 ↑OA=↑a,↑OB=↑b,↑OC=↑cとおく。このとき、 内積↑a・↑=8 内積↑b・↑c=↑c・↑a=8√2 である。 辺OA上に点Pをとり、↑OP=x↑a(0<x<1)とし、辺OB上に点Qをとり、↑OQ=y↑b(0<y<1)とする。また、辺OCの中点をMとする。 (1)三角形MPQの重心をGとすると、 ↑OG=x/3↑a+y/3↑b+1/6↑c である。したがって、線分OGを3:1に外分する点をRとすると、 ↑ OR=x/2↑a+y/2↑b+1/4↑c となる。 (2)辺OBと線分MPが垂直の時 x=(√2)/2 であり、さらに、(1)における点Rが三角形ABCを含む平面上にあるとき y=(3-√2)/2 である。このとき四面体OPQMの体積は四面体OABCの体積の (ソ(√タ)-チ)/ツ倍 である。 この問いのソ~ツまでを教えてください。 ほかは自分で考えたので、間違っているかもしれません…
- satsuki63
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この問いのソ~ツまでを教えてください。 ＞四面体OABCを底面が△OABの三角錐、四面体OPQMを 底面が△OPQの三角錐と考えると、MがACの中点だから 両三角錐の高さの比は2:1になり、面積の比は △OABの面積=(1/2)OA*OBsinπ/3 △OPQの面積=(1/2)OP*OQsinπ/3 =(1/2){(√2)/2}OA*{(3-√2)/2}OBsinπ/3から △OABの面積/△OPQの面積=4/(3√2-2)となるので、 四面体OABCの体積/四面体OPQM=8/(3√2-2)。よって、 四面体OPQMの体積は四面体OABCの体積の(3√2-2)/8倍 となり、ソ=3、タ=2、チ=2、ツ=8・・・答 なお、 ほかは自分で考えたので、間違っているかもしれません… ＞計算は正しいです。
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