• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

ベクトルの解説早めにお願いします

高校2年生です。 塾の課題の内容なのですが、 4つの面が合同な三角形からなる四面体OABCにおいて、OA=√3 OB=√3 OC=√2とし、点Oから三角形ABCに下ろした垂線の足をRとする。 また、OA=a OB=b OC=c(ベクトルは省略しています)とおく。 1内積a•b ,b•c, c•aを求めよ 2,ARをa,b,cを用いて表せ 3,線分ORの長さを求めよ 参考書などで類題を探したり考えてみましたが、ベクトルは苦手なのでよく分かりません… 出来れば明日までに 解説をよろしくお願いします(>_<)

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.2
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

>4つの面が合同な三角形からなる四面体OABCだから AC=BC=√3、AB=√2。 余弦定理:AB^2=OA^2+OB^2-2OA*OB*cos∠AOBにより cos∠AOB=(OA^2+OB^2-AB^2)/(2OA*OB)=2/3 同様にcos∠BOC=cos∠AOC=1/√6 ベクトルを↑、内積を↑・↑で表すと、 1内積a•b ,b•c, c•aを求めよ >↑a・↑b=|↑a|*|↑b|cos∠AOB=3*2/3=2・・・・答 ↑b・↑c=|↑b|*|↑c|cos∠BOC=√6*1/√6=1・・・答 ↑c・↑a=|↑c|*|↑a|cos∠AOC=√6*1/√6=1・・・答 2,ARをa,b,cを用いて表せ >s,tを実数として ↑AR=s↑AC+t↑AB=s(↑c-↑a)+t(↑b-↑a)=s↑c+t↑b-(s+t)↑a・・・(ア) ↑OR=↑a+↑AR=s↑c+t↑b-(s+t-1)↑a ↑OR⊥↑ABだから↑OR・↑AB=0より ↑OR・↑AB={s↑c+t↑b-(s+t-1)↑a}・(↑b-↑a) =s↑c・↑b+t↑b・↑b-(s+t-1)↑a・↑b-s↑c・↑a-t↑b・↑a+(s+t-1)↑a・↑a=0 ここで↑c・↑b=1,↑b・↑b=3,↑b・↑a=↑a・↑b=2,↑c・↑a=1,↑a・↑a=3だから ↑OR・↑AB=s+3t-2(s+t-1)-s-2t+3(s+t-1)=s+2t-1=0・・・(イ) 同様に↑OR⊥↑ACだから↑OR・↑AC=0より {s↑c+t↑b-(s+t-1)↑a}・(↑c-↑a) =s↑c・↑c+t↑b・↑c-(s+t-1)↑a・↑c-s↑c・↑a-t↑b・↑a+(s+t-1)↑a・↑a =2s+t-(s+t-1)-s-2t+3(s+t-1)=3s+t-2=0・・・(ウ) (イ)(ウ)を連立で解いてs=3/5,t=1/5 (ア)に代入して↑AR=(-4↑a+↑b+3↑c)/5・・・答 3,線分ORの長さを求めよ >↑OR=s↑c+t↑b-(s+t-1)↑a=(3↑c+↑b+↑a)/5 OR^2=↑OR・↑OR={(3↑c+↑b+↑a)/5}・{(3↑c+↑b+↑a)/5} =(1/25)(9↑c・↑c+3↑c・↑b+3↑c・↑a+3↑b・↑c+↑b・↑b +↑b・↑a+3↑a・↑c+↑a・↑b+↑a・↑a) =(1/25)(9*2+3+3+3+3+2+3+2+3)=40/25=8/5 OR=√(8/5)=2√10/5・・・答

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

私にとって時間かかりそうですが自力でも解けるようにしようと思います…… 丁寧な解答でとても分かりやすかったです ありがとうございました!

その他の回答 (1)

  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

1 だけ: 内積を求めるには何が必要ですか?

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

それぞれの大きさとcosの値でしょうか…… まだまだ私は基本的なことが出来ていないようです。 基礎からですね…! ありがとうございました

関連するQ&A

  • 数学B ベクトルがどうしても分かりません

    内積と空間図形の問題が面積のところまでしか分かりません!! どなたか解説をお願いします!! 問い) 四面体OABCにおいて、OA=3、OB=4、OC=5、∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°である。 三角形OBCの面積は(あ)√(い)、である。 OAベクトル=aベクトル、OBベクトル=bベクトル、OCベクトル=cベクトルとおく。 頂点Aから三角形OBCを含む平面に垂線AHを引く。 AHベクトル⊥bベクトル、AHベクトル⊥cベクトルであるから、 OHベクトル=(え分のう)bベクトル+(か分のお)cベクトルと表される。 よって、AHベクトルの大きさ=√(き)であるから、四面体OABCの体積は(く)√(け)である。

  • ベクトルの問題です。教えてください!

    四面体OABCがあり、OA=OB=OC=5、∠AOB=∠BOC=∠COA=90°である。 辺ABを2:1に内分する点をD、辺OCの中点をE、線分DEの中点をFとする。 また、OA=a、OB=b、OC=c(ベクトルは省略させてください。)とする。 また直線AFと三角形OBCとの交点をPとするとき三角形OAPの面積を求めよ。 OPをベクトルで表すまではできたと思うのですが、 三角形の面積をどうやって求めればいいのかが分かりません。 詳しい解き方を教えてください!

  • ベクトル

    OA=OB=OC=4,角AOB=60°,角BOC=角COA=45°を満たす四面体OABCがあり、 ↑OA=↑a,↑OB=↑b,↑OC=↑cとおく。このとき、 内積↑a・↑=8 内積↑b・↑c=↑c・↑a=8√2 である。 辺OA上に点Pをとり、↑OP=x↑a(0<x<1)とし、辺OB上に点Qをとり、↑OQ=y↑b(0<y<1)とする。また、辺OCの中点をMとする。 (1)三角形MPQの重心をGとすると、 ↑OG=x/3↑a+y/3↑b+1/6↑c である。したがって、線分OGを3:1に外分する点をRとすると、 ↑ OR=x/2↑a+y/2↑b+1/4↑c となる。 (2)辺OBと線分MPが垂直の時 x=(√2)/2 であり、さらに、(1)における点Rが三角形ABCを含む平面上にあるとき y=(3-√2)/2 である。このとき四面体OPQMの体積は四面体OABCの体積の (ソ(√タ)-チ)/ツ倍 である。 この問いのソ~ツまでを教えてください。 ほかは自分で考えたので、間違っているかもしれません…

  • 数学 空間ベクトルについて

    数学 空間ベクトルの問題について 四面体OABCは OA=4 OB=5 OC=3 ∠AOB=90度、∠AOC=∠BOC=60度を満たしている。 (1)点Cから三角形OABに下ろした垂線と、三角形OABとの交点をHとする。 ベクトルCHをベクトルOA、ベクトルOB、ベクトルOCを用いてあらわせ。 (2)四面体OABCの体積を求めよ。 この二問なのですが解き方と解答がわからず困ってます。 なので途中式と解答をお願いします。

  • ベクトルの問題です。解答よろしくお願いします。

    四面体OABCを考えa=OA,b=OB, c=OC(ベクトル)とする。また、線分OA、OB、OCを2対1に内分する点をそれぞれA',B'.C',とし、直線BC'と直線B’Cの交点をD、3点A'、B、C,を通る平面と直線ADとの交点をEとする。 OE(ベクトル)をa, b, c,(ベクトル)で表してください。

  • 高2の数学の春休み宿題のベクトルがわかりません。教えてくださいお願いし

    高2の数学の春休み宿題のベクトルがわかりません。教えてくださいお願いします。 問題は四面体OABCがあり、OA=1、OB=OC=√2、AB=CA=√3、BC=2である。辺ABの中点をMとし、線分OMの中点をNとする。また、三角形ABCの重心をGとし、OAベクトル=aベクトル(本当は文字の上に→です。書き方がわかりません。)OBベクトルはbベクトル、OCベクトル=cベクトルとする。また直線OGと直線CNの交点をTとする。でTから平面OABに下ろした垂線をTHとする。線分THの長さを求めよ。という問題がわかりません。この問題は(3)なんですが、参考に(1)はベクトルONをベクトルa,bを用いて、またベクトルOGをベクトルa,b,cを用いて表せ。(2)はベクトルOTをベクトルa,b,cを用いて表せ。ですわかる人いたら教えてください。お願いします。

  • ベクトル

    四面体OABCにおいて  →  → |OA|=|OB|=1 → → OA・OB=1/12 → → OA・OC=1/2 → → OB・OC=1/3 のときに、辺OAを2:1に内分する点をDとおき、線分DB上の点Pを       → → ベクトルOP、PCが垂直になるようにとる。 → →  → →   → → OA=a  OB=b  OC=cとおく。    → → → (1)OPをa、bを用いて表せ。 (2)直線APと直線OBとの交点をEとおく。    → →    OEをbを用いて表せ。 という問題なのですが、(1)は平行条件と垂直条件を使って解いてみたのですが、途中でよくわからなくなってしまいました; どなたかお願いします。。

  • 数学bのベクトルの問題

    四面体OABCの辺AB, OCの中点をそれぞれM,Nとし 三角形ABCの重心をGとする。 OAベクトル=aベクトル OB…略 とするとき 三角形OMCにおいて2つの線分OG,MNの交点をQとするときOQベクトルをaベクトル、bベクトル、cベクトルで表せ という問題でメネラウスを使った計算の場合MCがGに1:2 で内分されるのですがなぜでしょうか? よろしくお願いします。

  • ベクトル 外接円

    三角形oabのoa、ob、abの辺の長さとoaベクトルとobベクトルの内積がわかっていて、 三角形oabの外心をcとしたとき、ocベクトルをoaベクトルとobベクトルを使って答える問題はどうやってとけばいいんでしょうか。高校の数学です。

  • ベクトル、誰か助けて

    よろしくお願いします。結構苦戦してるんです。 四面体OABCがある。OAを→a、OBを→b、OCを→cとする。 三角形ABCの重心をGとし、OCの中点をMとする。 OGと三角形MABの交わる点をLとした時、OLを→a、→b、→cを使って あらわしなさい。 って問題なんです。試験に出そうなんです。誰か助けて!