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空間ベクトル

四面体OABCにおいて、∠AOB=∠AOC=60°、∠BOC=90°、OA=1とする。 頂点Oから平面ABCに下ろした垂線が、△ABCの重心Gを通るとき、辺OB,OCの長さを求めよ。 という問題です。 V(OG)=1/3{V(OA)+V(OB)+V(OC)} 点Gは平面ABC上の点より V(AG)=sV(AB)+tV(AC)とおける 整理して V(OG)=(1-s-t)V(OA)+sV(OB)+tV(OC) V(OA),V(OB),V(OC)}は1次独立より、係数比較から s=1/3,t=1/3 ∴V(AG)=1/3{V(AB)+V(AC)} としましたが、辺OB,OCの長さには行き着きそうもありません。 どなたか教えて下さい。

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まず、空間ベクトルは図で書くのが難しいので、平面よりわかりにくくなりますが、基本的には二次のときと同様に出来ます。解くときも、脈絡なしでただ闇雲に条件をだして式変形するのでは、迷走します。まずは、大体どの様な方針でいくと解けそうかをある程度は定めて、それに向かっていくようにしましょう。 ちなみに、任意の点からの位置ベクトルを用いて三角形の重心G=1/3(A+B+C)が成り立ちます。ここで、基点をAにとればAG=1/3(AB+BC)となるので、質問者さんが、計算しているのは、これを言ったに過ぎず、初めの式を書き換えているだけで、かなり迷走しています。 さて、今回求めたいのは、OB、OAの長さすなわち絶対値のOB,OAが知りたいのです。そして、頂点Oに関する角が三つ与えられています。また、OA=1藻分かります。ポイントは、高校ベクトルで、角度とベクトルといったら、内積しかありません。よって、おそらく内積から、うまくOB, OCを求めるのだろうと予想がつくでしょう。頂点Oに関する角が与えられていることからすると、基点Oにしたベクトルで表現して解くのがオーソドックスだろうとも気付きます。 ここで、もう一つ、垂直条件が与えられています。つまり平面abcとOGが垂直ということは、OG・AB, OG・ACの2つの内積が0です。 以上をせいりして、いけば解けるのが分かるでしょう。最後の垂直条件をOからのベクトルの式でそれぞれ表すと、OA・OB, OA・OCなどが必要になるでしょうから、ここで、これらの内積と角度を帰着させて整理するだけです。 これでも分からなければ、補足してください。入試のベクトルは基本的にやることがあまりないので、なれれば、得点源になります。さらに、よく出る範囲でもあるし、いろいろと応用が効くので、ぜひ得意分野にしておきましょう。

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質問者からのお礼

夜分遅くに回答ありがとうございました。解けました。 数学の先生も「ベクトルはワンパターンだから、慣れれば得点とれる」 と言っていました。 志望大学には結構出る分野なので、頑張りたいと思います。

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  • 回答No.2
  • Damena
  • ベストアンサー率40% (17/42)

ヒント:vec(OG)⊥△ABC ⇔ vec(OG)・vec(AB)=0 かつ vec(OG)・vec(AC)=0 ちなみに答えは、複雑な値になります。OB = OC = (1+√17)/4 図形描画ソフトがあるのなら、直交座標系で O(0, 0, 0) A(1/2, 1/2, 1/√2) B((1+√17)/4, 0, 0) C(0, (1+√17)/4, 0) と入力してみてください。

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質問者からのお礼

夜分遅くに回答ありがとうございました。 Damenaさんと同じ答えに行き着きました。 休憩時間に入力してみたいと思います。

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