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高校数学の空間ベクトルについて

四面体OABC. OA=3,OB=2,OC=2, OA=a→,OB=b→,OC=c→ とする。 また、∠AOB=∠BOC=∠COA=60°とする。 AB上を3:2に内分する点をDとする。 (1) このときのcos∠DOCのΘを求めよ。 (2) OD→、AC→のなす角をΘとするとき、cosΘの値を求めよ。 この2点の求め方を教えてください。 (1)の答えは3√7/14です。(2)は忘れてしまいました。 見にくい点などあれば、ご指摘お願いします。

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みんなの回答

  • 回答No.5
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

>質問には「(1)の答えは3√7/14です。」と書かれているが、 質問が正しければ答えは3√7/14にはならない。 もし、答えの3√7/14が正しいなら、質問に誤りがある。 確認して、結果を補足に書くか、再質問してはどうですか?

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  • 回答No.4
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

No.1です。(2)を回答します。 (2) OD→、AC→のなす角をΘとするとき、cosΘの値を求めよ。 ↑AC=↑OC-↑OA=↑c-↑a、 |↑AC|^2=(↑c-↑a)・(↑c-↑a)=↑c・↑c-2(↑c・↑a)+↑a・↑a =4-2*2*3*(1/2)+9=7、|↑AC|=√7 ↑OD=(2/5)↑a+(3/5)↑bだから ↑OD・↑AC={(2/5)↑a+(3/5)↑b}・{↑c-↑a} =(2/5)↑a・↑c-(2/5)↑a・↑a+(3/5)↑b・↑c-(3/5)↑b・↑a =(2/5)|↑a|*|↑c|cos∠COA-(2/5)|↑a|^2+(3/5)|↑b|*|↑c|cos∠BOC-(3/5)|↑b|*|↑a|cos∠AOB =(2/5)*3*2*(1/2)-(2/5)*9+(3/5)*2*2*(1/2)-(3/5)*2*3*(1/2) =(6/5)-(18/5)+(6/5)-(9/5)=-15/5=-3 ↑OD・↑AC=|↑OD|*|↑AC|cosΘだから cosΘ=(↑OD・↑AC)/(|↑OD|*|↑AC|)=-3/{(6√3/5)*(√7)}=-5√21/42≒-0.5455 三角関数表を使えば Θ=arccos(-5√21/42)≒123°・・・答

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  • 回答No.3
noname#232123
noname#232123

1) cos∠DOC=1/√3. 2) 矢印は省略し、内積は<a, b>と書くことにします。 OD=(2/5)a+(3/5)b, |OD|=(6/5)√3, |AC|=√7, <a, b>=3, <b, c>=2, <c, a>=3 などを使います。 <OD, AC>=<(2/5)a+(3/5)b, c-a>=(2/5)*3 - (2/5)*9+(3/5)*2 - (3/5)*3=-3, また、<OD, AC>=|OD|*|AC|*cos∠Θ=(6/5)√3*√7 ですから、 cosΘ=-3/{(6/5)√21}=-5/(6√21) となりこの結果、Θは鈍角です。 (「ベクトルOD, AC のなす角」となっていますのでこのまま答えます。)

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  • 回答No.2
noname#215361
noname#215361

a→・b→=3*2*cos60°=3、b→・c→=2*2*cos60°=2、c→・a→=2*3*cos60°=3 (1) 「cos∠DOCのΘ」は、「OD→、OC→のなす角をΘとするときのcosΘの値」だと解釈しますので、誤っていたら補足してください。 △OABにおいて、余弦定理から、 AB^2=3^2+2^2-2*3*2*cos60°=9+4-6=7⇒AB=√7⇒AD=3√7/5 2^2=3^2+(√7)^2-2*3*√7*cos∠OAB⇒cos∠OAB=2√7/7 △OADにおいて、余弦定理から、 OD^2=3^2+(3√7/5)^2-2*3*3√7/5*cos∠OAD(∠OAB)=108/25⇒OD=6√3/5 OD→=a→+3AB→/5=a→+3(b→-a→)/5=(2a→+3b→)/5 OD→・OC→=(2a→+3b→)/5・c→=(2a→・c→+3b→・c→)/5=(6+6)/5=12/5 よって、次の関係が成り立つ 6√3/5*2*cosΘ=12/5⇒cosΘ=√3/3 (2) AC=AB=√7(△OAC≡△OAB) AC→=c→-a→ OD→・AC→ =(2a→+3b→)/5・(c→-a→) =(2a→・c→-2a→・a→+3b→・c→-3b→・a→)/5 =(6-18+6-9)/5 =-15/5 =-3 よって、次の関係が成り立つ 6√3/5*√7*cosΘ=-3⇒cosΘ=-5√21/42

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  • 回答No.1
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

取り敢えず(1)について >ベクトルを↑、内積を↑・↑で表して、 ↑OD=↑OA+(3/5)↑AB=↑OA+(3/5)(↑OB-↑OA) =(2/5)↑a+(3/5)↑b |↑OD|^2=↑OD・↑OD={(2/5)↑a+(3/5)↑b}・{(2/5)↑a+(3/5)↑b} =(2/5)^2|↑a|^2+2*(2/5)*(3/5)↑a・↑b+(3/5)^2|↑b|^2 =(4/25)*9+(12/25)|↑a|*|↑b|cos∠AOB+(9/25)*4 =(4/25)*9+(12/25)*3*2*(1/2)+(9/25)*4=108/25 |↑OD|=√(108/25)=6√3/5・・・・・(1) ↑OC・↑OD=↑c・{(2/5)↑a+(3/5)↑b} =(2/5)↑c・↑a+(3/5)↑c・↑b =(2/5)|↑c|*|↑a|cos∠COA+(3/5)|↑c|*|↑b|cos∠BOC =(2/5)*2*3*(1/2)+(3/5)*2*2*(1/2)=12/5・・・・・(2) ↑OC・↑OD=|↑OC|*|↑OD|cos∠DOCだから(1)(2)より cos∠DOC=(↑OC・↑OD)/(|↑OC|*|↑OD|)=(12/5)/{(2)*(6√3/5)} =1/√3=√3/3・・・答

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