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高２のベクトルです
空間で四面体OABCを考え ベクトルOA=a OB=b OC= cとおく。 (1)Pを３点A,B,Cを通る平面状の点とする。このときOPはs+t+u=1 を満たす次数s,t,uを用いて OP=sa+tb+ucと表されることを示せ。 (2)以上６辺OA,OB,OC,AB,BC,CAの長さをそれぞれ√10,4,2,6,2√7,4とする。内積a・b b・c ｃ・aの値を求めよ (3)３点A,B,Cを通る平面に点Oに下ろした垂線の足をHとする。 ベクトルOH=xa+yb+zcを満たす実数x,y,zを求めよ この問題の(3)なんですが ・Hは平面ABC上の点 (1) ・→OH⊥→AB、→OH⊥AC(2) 以上の条件を使うらしいのですが(2)は以下のとおりでいいのですか？ →OH⊥→ABは6ax+6by+6cz=0 →OH⊥ACは4ax+4by+4cz=0 (1)はどうやって表したらいいのですか？ 教えてください。 あとできたらのでいいので(1)のほうも教えていただけませんでしょうか？
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- KI401
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- taka517
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(1) 直線CPと直線ABの交点をQとします。 Qは直線AB上の点よりOQ=xa+yb (x+y=1)で表されますよね？ (ここでわからないなら教科書を見直してください) で、同様にPはCQ上の点なのでOP=mOQ+nOC (m+n=1)と表されます。 よってOP=m(xa+yb)+nc=mxa+myb+ncとなる。 mx+my+n=m(x+y)+n=m+n=1 mx,my,nを新たにs,t,uと置き直せば OP=sa+tb+uc (s+t+u=1)と表されます。 (2)は余弦定理をつかってcos求めておしまい。 (3) (1)よりOH=xa+yb+zcかつx+y+z=1は明らか。 「垂直ならば内積＝０」を使う。 OH⊥AB,OH⊥BC から(2)で求めた内積を使って OH・AB=0 OH・AC=0 x+y+z=1 の３つの式で連立。３つめはOH・BC=0でも可。
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