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ベクトルの問題です

四面体OABCにおいて、OA=OB=OC=3、AB=BC=CA=√6である。 また、点Pは辺ABをx:1-xに内分し、点Qは辺OCをy:1-yに内分する。(0<x<1、0<y<1) OAベクトル=aベクトル、OBベクトル=bベクトル、OCベクトル=cベクトルとして次の問いに答えよ。 (1)内積a・bベクトルを求めよ (2)PQベクトルをaベクトル、bベクトル、cベクトル、x、yで表せ (3)2点P、Q間の距離PQの最小値と、そのときのx、yの値を求めよ (1)は、余弦定理を使ってcos∠AOBが2/3からa・bベクトルが6とだすことが出来ました。 (2)から分かりません。 出来れば詳しい解説をよろしくお願いします。

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OPベクトルをOP↑と表すことにします。 (2) PQ↑=OQ↑-OP↑ ですので、OQ↑とOP↑をa↑,b↑,c↑,x,yで表せばよい。 QはOCをy:(1-y)に内分する点だから OQ↑=y*c↑ PはABをx:(1-x)に内分する点だから OP↑=(1-x)*a↑+x*b↑ ですね。 (3) PQ↑の大きさの2乗は PQ^2=PQ↑・PQ↑ (PQ↑とPQ↑の内積) となります。このPQ↑に(2)で得られた式を代入して展開してみましょう。 ここで a↑・b↑=b↑・c↑=c↑・a↑=6 ((1)の結果より) の関係と a↑・a↑=b↑・b↑=c↑・c↑=9 (a↑・a↑=OA^2=9) を使うと、ベクトルは全て数字に変わり、x,yだけの式になります。 その式を変形して最小値を求めればよい。まず、xについて平方完成の式を立て、残った項についてyについての平方完成の式を立てればよいでしょう。 追記 (1)は余弦定理を使うよりもAB↑=b↑-c↑として、AB↑・AB↑=6の関係を使うほうが楽そう。直接a↑・b↑の値が得られます。

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質問者からのお礼

大変遅くなってすみません。 丁寧な解説ありがとうございます。 ちゃんと解き切ることが出来ました!

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