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ベクトルを教えて下さい

四面体OABCがあり、OA=OB=OC=5、∠AOB=∠BOC=∠COA=90゜である。辺ABを2:1に内分する点をD、辺OCの中点をE、線分DEの中点をFとする。また、↑OA=↑a、↑OB=↑b、↑OC=↑cとする。 (1)内積↑a・↑bを求めよ。また、↑ODを↑a、↑bを用いて表せ。 →解けました。 ↑a・↑b=0 ↑OD=↑a+2↑b/3 (2)↑OFを↑a、↑b、↑cを用いて表せ。また、線分AFと△OBCとの交点をPとするとき、↑OPを↑b、↑cを用いて表せ。 →↑OFを求め、↑AP=t↑AFとなるような実数tが存在するため、これを求める。式↑AP=t↑AFを始点Oベクトルの関係式に直し、↑OPを↑a、↑b、↑cを用いた式で表す。↑OPは↑bと↑cだけで表される。↑aの係数は0である。このことよりtを求める。を使うそうです。 (3)(2)のとき、△OAPの面積を求めよ。 →↑OA・↑OP=0を示し、|↑OP|^2を計算する。|p↑a+q↑b|^2の公式を使う。を使うそうです。 解答と解説をよろしくお願いします。

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#3,#4です。 #4の補足質問について >(1)はテストで書くときは正解ですが、ネット上では、表現上ややこしいのでだめということですね。 ちょっと書き方がまずいと言うだけですね。 >(1)↑OD=↑a+2↑b/3 こう書くと ↑OD=(↑a)+(2↑b/3)=(↑a)+(2/3)↑b の意味になります。 (2)の意味  ↑OD=(1/3)(↑a)+(2/3)(↑b) …(2) になる書き方にしたければ (1)を  ↑OD={(↑a)+2(↑b)}/3 と括弧を付けて書けば(2)の表現と同じ意味になり正解となります。 サイトでの手入力では、分子と分母の範囲が確実に伝わるように 必ず多重括弧を付けて分子、分母を区切って書くようした方が良いでしょう。

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その他の回答 (4)

  • 回答No.4
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#3です。 A#3の補足質問と図の添付 >↑OD=↑a+2↑b/3と (1/3)↑a+(2/3)↑bの違いはなんですか? ベクトル↑ODを成分表示で書けば明らかに違うことが分かるでしょう。 添付図のように座標軸をとれば >↑OD=↑a+2↑b/3 =(5,0,0)+2(0,5,0)/3=(5,10/3,0) このベクトル表記によれば点Dのx座標が5でy座標が10/3(z座標は0) なので点Dは線分AB上にないことは明らか。点Dは線分ABを2:1に分割する内分点であって線分AB上に存在しなければならないので間違い。 >(1/3)↑a+(2/3)↑b =(1/3)(5,0,0)+(2/3)(0,5,0)=(5/3,10/3,0) このベクトル表現による↑ODの点Dは添付図のように線分ABを2:1に分割する内分点になり正しいことが確認できます。

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質問者からの補足

↑OD=↑a+2↑b/3…(1) (1/3)↑a+(2/3)↑b…(2) 解決しました。 (1)はテストで書くときは正解ですが、ネット上では、表現上ややこしいのでだめということですね。

  • 回答No.3
  • info22_
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(1) >↑a・↑b=0 合っています。 OA⊥OBより ↑a・↑b=OA*OB*cos90°=5*5*0=0 >↑OD=↑a+2↑b/3 間違い。 ↑OD=↑OA+AD↑=↑a+(2/3)↑AB=↑a+(2/3)(↑OB-↑OA) =↑a+(2/3)(↑b-↑a) =(1/3)↑a+(2/3)↑b が正解。 (2) ↑OF=↑OD+↑DF=↑OD+(1/2)↑DE =↑OD+(1/2)(↑OE-↑OD) =(1/2)↑OD+(1/2)↑OE =(1/2)↑OD+(1/2)*(1/2)↑OC =(1/2){(1/3)↑a+(2/3)↑b}+(1/4)↑c (∵(1)より) =(1/6)↑a+(1/3)↑b+(1/4)↑c ↑AF=↑OF-↑OA=-(5/6)↑a+(1/3)↑b+(1/4)↑c ↑OP=↑OA+↑AP=↑a+t↑AF={1-(5t/6)}↑a+(t/3)↑b+(t/4)↑c ↑OPの↑a成分=0より 1-(5t/6)=0  t=6/5 この時 ↑OP=(2/5)↑b+(3/10)↑c (3) ↑OA・↑OP=(2/5)↑a・↑b+(3/10)↑a・↑c=0+0=0 ∠AOP=90°、OA=5,OP=√{2^2+(3/2)^2}=5/2 より △OAP=OA*OP/2=5*(5/2)/2=25/4

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質問者からの補足

すみません ↑OD=↑a+2↑b/3と (1/3)↑a+(2/3)↑bの違いはなんですか? 答えを見たら当たってました。

  • 回答No.2
  • ferien
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訂正です。済みません。以下のようにお願いします。 ↑OPは↑bと↑cだけで表される。↑aの係数は0である。このことよりtを求める。 (1/6)t+1-t=0より、 t=6/5 よって、OP=(2/5)b+(3/10)c ……答え (3)(2)のとき、△OAPの面積を求めよ。 →↑OA・↑OP=0を示し、|↑OP|^2を計算する。|p↑a+q↑b|^2の公式を使う。を使うそうです。 ↑OA・↑OP=a・{(2/5)b+(3/10)c}       =(2/5)(a,b)+(3/10)(a,c) (1)より       =0 これより、△OAPは、角AOP=90度の直角三角形 |↑OP|^2={(2/5)b+(3/10)c}^2       =(4/25)|b|^2+2・(2/5)・(3/10)(b,c)+(9/100)|c|^2 (1)より       =(4/25)・5^2+(9/100)・5^2       =25/4 OP=5/2 △OAPの面積=OP×OA×(1/2)        =(1/2)=(5/2)×5×(1/2)        =25/4 ……答え なにかあったらお願いします。

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  • 回答No.1
  • ferien
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四面体OABCがあり、OA=OB=OC=5、∠AOB=∠BOC=∠COA=90゜である。辺ABを2:1に内分する点をD、辺OCの中点をE、線分DEの中点をFとする。また、↑OA=↑a、↑OB=↑b、↑OC=↑cとする。 |a|=|b|=|c|=5 >(1)内積↑a・↑bを求めよ。また、↑ODを↑a、↑bを用いて表せ。 >→解けました。 >↑a・↑b=0  これと同じやり方で、b・c=0,c・a=0,a・b=0……(1) >↑OD=↑a+2↑b/3  OD=(1/3)a+(2/3)bでは? (2)↑OFを↑a、↑b、↑cを用いて表せ。また、線分AFと△OBCとの交点をPとするとき、↑OPを↑b、↑cを用いて表せ。 >→↑OFを求め、↑AP=t↑AFとなるような実数tが存在するため、これを求める。式↑AP=t↑AF>を始点Oベクトルの関係式に直し、↑OPを↑a、↑b、↑cを用いた式で表す。↑OPは↑bと↑cだけで表される。↑aの係数は0である。このことよりtを求める。を使うそうです。 辺ABを2:1に内分する点をD、辺OCの中点をE、線分DEの中点をFとするから、 OE=(1/2)OC=(1/2)c OF=(1/2)OD+(1/2)OE   =(1/2){(1/3)a+(2/3)b}+(1/2)(1/2)c   =(1/6)a+(1/3)b+(1/4)c ↑AP=t↑AFとなるような実数tが存在するため AP=tAFt(OF-OA) OP-OA=t(OF-OA)より、 OP=tOF-tOA+OA   =t{(1/6)a+(1/3)b+(1/4)c}+(1-t)a   ={(1/6)t+1-t}a+(1/3)tb+(1/4)tc ↑OPは↑bと↑cだけで表される。↑aの係数は0である。このことよりtを求める。 (1/6)t+1-t=0より、 t=6/5 よって、OP=(2/5)b+(3/5)c ……答え (3)(2)のとき、△OAPの面積を求めよ。 →↑OA・↑OP=0を示し、|↑OP|^2を計算する。|p↑a+q↑b|^2の公式を使う。を使うそうです。 ↑OA・↑OP=a・{(2/5)b+(3/5)c}       =(2/5)(a,b)+(2/5)(a,c) (1)より       =0 これより、△OAPは、角AOP=90度の直角三角形 |↑OP|^2={(2/5)b+(3/5)c}^2       =(4/25)|b|^2+2・(2/5)・(3/5)(b,c)+(9/25)|c|^2 (1)より       =(4/25)・5^2+(9/25)・5^2       =13 OP=ルート13 △OAPの面積=OP×OA×(1/2)        =(1/2)=ルート13×5×(1/2)        =5ルート13/2 ……答え 答えが違うとかなにかあったらお願いします。

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