ベクトルの内積について

質問

３点A,B,CがOを中心とする半径１の円周上にあり、
　　　　　　　　　　　→　 →　　→
　　　　→　　→　　　OA＋√２OB－OC＝０　　を満たしている
１）内積OA・OBの値を求めよ

この問題の解き方を教えて下さい。
私自身が考えたのは、それぞれ、OA＝、OB＝、OC＝、になおして、cosθを求めてみたのですが止まってしまいました。
よろしくお願いします。

回答No.3

yyssaa

＞図で解く方が簡単ですが計算だけで解くなら
↑OC-↑OA=√2↑OBだから、両辺の内積から
左辺は(↑OC-↑OA)・(↑OC-↑OA)
=↑OC・↑OC-↑OC・↑OA-↑OA・↑OC+↑OA・↑OA
=|↑OC|^2-2(↑OA・↑OC)+|↑OA|^2
=1-2(↑OA・↑OC)+1=2-2(↑OA・↑OC)
右辺は(√2↑OB)・(√2↑OB)=2↑OB・↑OB=2|↑OB|^2=2
2-2(↑OA・↑OC)=2から↑OA・↑OC=0
↑OB=(1/√2)(↑OC-↑OA)だから
↑OA・↑OB=↑OA・(1/√2)(↑OC-↑OA)
=(1/√2)(↑OA・↑OC-↑OA・↑OA)
=-(1/√2)|↑OA|^2=-1/√2=-√2/2・・・答

お礼

ご丁寧に図まで載せて解説していただきありがとうございました。
解き方が理解できてすっきりしました。

回答No.2

info222_

√2 OB↑=OC↑-OA↑=AC↑ …(1)
AC^2=AC↑・AC↑=√2 OB↑・√2 OB↑=2OB^2=2・1^2=2
AC=√2　…(2)
AC↑・AC↑=(OC↑-OA↑)・(OC↑-OA↑)=OC^2+OA^2-2OA↑・OC↑
AC^2=OC^2+OA^2-2OA↑・OC↑
(2)とOA=OC=1より
２＝1^2+1^2-2OA↑・OC↑
∴OA↑・OC↑=0 …(3)
∠AOC＝90°
(1),(3)より
OA↑・√2 OB↑=OA↑・(OC↑-OA↑)=-OA^2=-1
∴OA↑・OB↑=-1/√2 …（答）

回答No.1

gohtraw

与式を変形すると
ＯＣ－ＯＡ＝√２ＯＢ
ＡＣ＝√２ＯＢ

そこで半径１の円周上に点Ｂをとると、線分ＣＡは半径ＯＢと平行に
なり、その長さは√２です。ＯＡもＯＣも長さは１なので、△ＯＡＣは
三辺の長さが１、１、√２となり、直角二等辺三角形です。

こういう図を描いてみると判ると思いますよ。