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平面ベクトル(内積を使う問題で)
平面ベクトルでの質問があります。 ご教示戴ければ幸いです。 [問1] (1) OA=2√2、OB=√3、(→OA)・(→OB)=2の時、△OABの垂心をHとする時、(→OH)を (→OA)と(→OB)で表せ。 [答え](→OH)=1/10(→OA)+3/5(→OB) Hが垂心⇔(→AH)・(→OB)=(→BH)・(→OA)=0…(1) で (→OH)=s(→OA)+t(→OB)と置く、、、、 まで分かったのですがどうやって (→OH)を(→OA)、(→OB)の和で2通りに表せるのでしょうか? (2)平面上にO、A、B、Cがある。(→OA)+(→OB)+(→OC)=(→0) 、OA=2、OB=1、OC=√2の時、△OABの面積を求めよ。 [答え] √7/4 ((→OA)・(→OB)=-3/2) ヒントには"cos∠AOBを求めよ"とあるのですが、 どうすればcos∠AOBが求まるのでしょうか?
- _Yuuka
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こんばんは! (1) 「s、tを用いて(→OH)を2通りに表して、その係数比較からs、tの関係式を導く」という方針はベクトルではよく使われますが、この問題の場合はsとtの関係式が直接出るように思います。 (→AH)・(→OB)=(→BH)・(→OA)=0 から (→AH)・(→OB)=0 (→BH)・(→OA)=0 なので、この左辺をsとtを用いて表してやることができます!あとは連立方程式を解けばいいだけです。 (2) 条件式 (→OA)+(→OB)+(→OC)=(→0) (→OC)を移項して両辺絶対値の2乗を考えて |(→OA)+(→OB)|^2=|→OC|^2 が成立します。左辺は |(→OA)|^2 + 2・(→OA)・(→OB) + |(→OB)|^2 と展開できますから |→OA|=2 |→OB|=1 |→OC|=√2 を代入してやることで (→OA)・(→OB) を求めることが出来ます。あとは内積の式 (→OA)・(→OB)=|→OA|・|→OB|・cos∠AOB を用いてやれば、cos∠AOBを求めることができます!
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