ベクトルの質問です。

質問

3点　Ａ（3,3）、Ｂ（5,1）、Ｃ（6,3）があるとき
（1）四角形ABCDが平行四辺形になるよう点Dの座標を求めよ。
（2）原点をＯとする。ＯＣ↑（ＯＣベクトル）をＯＡ↑、ＯＢ↑を用いて表せ。
（3）ＯＡ↑＋ＯＢ↑とＯＡ↑＋ｔＡＢ↑が平行になるときのｔの値を求めよ。
（4）ＯＢ↑＋ｓＡＢ↑の大きさの最小値を求めよ。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

(1)
座標平面上に点A～Cをプロットするとわかるとおり、
AD↑ ∥ BC↑ となる。
よって、点D(4, 5)

(2)
OC↑ = sOA↑ + tOB↑ とする。
(6, 3)
=s(3, 3) + t(5, 1)
(3s + 5t, 3s + t)
3s + 5t = 6 …… (1)
3s + t = 3 …… (2)
(1)－(2)より、4t = 3
t = 3/4
(2)に代入して、s = 3/4
∴OC↑ = 3OA↑/4 + 3OB↑/4

(3)
OA↑ + OB↑ = (8, 4)
OA↑ + tAB↑ = (3, 3) + t(2, －2) = (2t + 3, －2t + 3)
両者は平行であるから、(8s, 4s) = (2t + 3, －2t + 3) とおける。
8s = 2t + 3 …… (1)
4s = －2t + 3 …… (2)
(1)－(2)×2より
0 = 6t － 3
t = 1/2

(4)
OB↑ + sAB↑ = (5, 1) + s(2, －2) = (2s + 5, －2s + 1)
このベクトルの大きさの2乗
=(2s + 5)^2 + (－2s + 1)^2
=4s^2 + 20s + 25 + 4s^2 － 4s + 1
=8s^2 + 16s + 26
=8(s^2 + 2s + 1 － 1) + 26
=8(s + 1)^2 + 18
s = －1 のとき、最小値18
∴OB↑ + sAB↑ の大きさの最小値=√18=3√2

いいかげんに計算していますので、正しいかどうか保証はできません。
上記の結果を鵜呑みにせず、必ずご自分で確認してください。

お礼

ありがとうございますー！

回答No.2

suko22

以下、ベクトル記号省略。

(1)点Dの座標を(x,y)と置く。
AB=(5-3,1-3)=(2,-2) DC=(6-x,3-y)
四角形ABCDは平行四辺形だから、
AB=DC
(2,-2)=(6-x,3-y)
2=6-x,-2=3-y
よって、x=4,y=5
∴D(4,5)・・・答え

(2)OC=mOA+nOB(m,nは実数)とおく。
　(6,3)=(3m,3m)+(5n,n)
=(3m+5n,3m+n)
6=3m+5n,3=3m+n
連立方程式を解くと、m=3/4,n=3/4
∴OC=3/4OA+3/4OB・・・答え

(3)実数ｓを使うと題意より、
　s(OA+OB)=OA+tAB　が成り立つ。（平行条件）
　(3s,3s)+(5s,s)=(3,3)+(2t,-2t)
3s+5s=3+2t,3s+s=3-2t
連立方程式を解くとt=1/2・・・答え

(4)OB+sAB=(5,1)+s(2,-2)=(5+2s,1-2s)
|OB+sAB|^2=(5+2s)^2+(1-2s)^2=8s^2+16s+26=8(s^2+2s)+26=8(s+1)^2-8+26=8(s+1)^2+18
よって、最小値はs=-1のとき|OB+sAB|=3√2・・・答え

答案風に書いてみました。わからないところがあれば補足してください。