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空間ベクトルの証明問題です。

「四角形ABCDを底面とする四角すいOABCDは、ベクトルOA+ベクトルOC=ベクトルOB+ベクトルODを満たしており、0と異なる4つの実数p、q、r、sに対して4点P、Q、R、SをベクトルOP=pベクトルOA、ベクトルOQ=qベクトルOB、ベクトルOR=rベクトルOC、ベクトルOS=sベクトルODによって定める。 このとき、P、Q、R、Sが同一平面上にあれば 1/p + 1/r = 1/q + 1/sが成り立つことを示せ。」 という問題です。ここまで解答したのですが、まだ欠けているような気がするので…ご指摘お願いします。 (ベクトルを省略させていただきます) 題意より、OA-OB=OD-OC よってBA=CD また、OA-OD=OB-OC よってDA=CB したがって、四角形ABCDは平行四辺形 P、Q、R、Sは同一平面上にあるので、四角形ABCD∽四角形PQRS よって、OA+OC=OB+ODより、 1/pOP+1/rOR=1/qOQ=1/sOS したがって、1/p+1/r=1/q+1/s

noname#180825
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こんばんわ。 少し「飛躍」してしまっているところがあると思います。 1) まず、質問の中でも書かれているとおり、四角形ABCDは平行四辺形であることが示されます。 すると、AC→= AB→+ AD→と表すことができます。 2) 「P、Q、R、Sは同一平面上にあるので、四角形ABCD∽四角形PQRS」 これは言えません。 これが言えるのは、ABCDと PQRSが平行なときだけです。 つまり、平行でないときもあるということです。 3) 同一平面上にあるということは、 ・3点で作られるベクトル 2つ(たとえば、PQ→, PS→)を考え、 ・もう 1点について、それらの線形結合として表すことができる。 (点Rに対して、PR→=α*PQ→+β*PS→と表すことができる) ということです。 位置ベクトルの原点は、点Oとした方がわかりやすいので OR→= r* OC→ OR→= OP→+ PR→ のように表すのがよいでしょう。

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