ベクトルについて

質問

OA＝√2、OB＝1であるΔOABがあり、線分ABを3：2に内分する点をCとする。また、ベクトルOA＝ベクトルа、ベクトルOB＝ベクトルbとおく。

(2)OC⊥ABのとき、内積ベクトルａ・ベクトルbの値を求めよ。

お願いしますm(_ _)m

回答No.1

gohtraw

点Ｏをｘｙ平面の原点に、点Ｂをｘ軸上におきます。すると点Ｂの座標は（１，０）となります。また、点Ａの座標を（ｘ、ｙ）とします。

ベクトルＡＢとベクトルＯＣの内積がゼロということは両者が垂直ということで、このことから△ＯＡＢの面積Ｓは
｜ＡＢ｜｜ＯＣ｜／２
で表されます。
｜ＡＢ｜＾２＝（１－ｘ）＾２＋ｙ＾２
　　　　　　＝３－２ｘ
｜ＯＣ｜＾２＝（（２ｘ＋３）＾２＋４ｙ＾２）／２５
　　　　　　＝（１７＋１２ｘ）／２５
なので、
Ｓ＾２＝（３－２ｘ）（１７＋１２ｘ）／１００　・・・（あ）
となります。
また、△ＯＡＢの面積は、ＯＡとＯＢのなす角をΘとして
｜ＯＡ｜｜ＯＢ｜・ｓｉｎΘ＝｜ＯＡ｜｜ＯＢ｜・ｙ／√２
　　　　　　　　　　　　＝ｙ
なので、
Ｓ＾２＝ｙ＾２
　　　＝２－ｘ＾２　・・・（い）
（あ）と（い）を等しいとおくとｘの二次方程式ですから、これを解けばｘが判ります。ｘが判ればｙもわかるので、ａとｂの内積も出ますね。
となります。