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ベクトルの質問です。

△OABにおいて、OA=3 OB=√3 cos∠AOB=-√3/3である。辺ABを1:2に内分する点をPとする。また、OAベクトル=aベクトル OBベクトル=bベクトルとする。 (1)内積aベクトル・bベクトルの値をもとめよ。また、OPベクトルをaベクトル bベクトルを用いてあらわせ。 (2)OQベクトル=tOPベクトル(tは実数)となる点Qをとる。AQ⊥OQとなるとき、tの値をもとめよ。 (3直線OPに関して点Aと対称な点をCとする。)直線ABと直線OCとの交点をRとするとき ORベクトルをaベクトル bベクトルを用いて表せ。

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ベクトルを記号の後ろに↑をつけて表す。aベクトルなら a↑と書くことにします。 図を添付するので参考にして下さい。 座標系をOを原点、OA↑をX軸に重なるようにとると a↑=(3,0), b↑=(-1,√2) となります。 (1) a↑・b↑=OA*OB*cos∠AOB=3√3*(-√3/3)=-3 OP↑=OA↑+(1/3)AB↑=a↑+(1/3)(b↑-a↑)=(2/3)a↑+(1/3)b↑ (2) (1)より OQ↑=tOP↑=(2t/3)a↑+(t/3)b↑ (t≠0) AQ↑=OQ↑-OA↑=(2t/3-1)a↑+(t/3)b↑ AQ⊥OQのとき 内積AQ↑・OQ↑=0より AQ↑・OQ↑=((2t/3-1)a↑+(t/3)b↑)・((2t/3)a↑+(t/3)b↑) =(2t/3)(2t/3-1)*3^2+(t/3)^2*(√3)^2+(t/3)((2t/3)+(2t/3-1))*(-3) =2t(2t-3)+(1/3)t^2-t(4t/3-1) =3t^2-5t=t(3t-5)=0 t≠0より t=5/3 (3) t=5/3のときの AQ↑=((2t/3-1)a↑+(t/3)b↑)=(1/9)a↑+(5/9)b↑ OC↑=OA↑+2*AQ↑=a↑+(2/9)a↑+(10/9)b↑=(11/9)a↑+(10/9)b↑ OR↑=sOC↑とおくと OR↑=(11s/9)a↑+(10s/9)b↑ ...(A) 一方 OR↑=OA↑+kAB↑=a↑+k(b↑-a↑)=(1-k)a↑+kb↑ ...(B) RはOCとABの交点であるから (A),(B)のOR↑は同一ベクトルなのでベクトルの係数も等しいから 11s/9=1-k, 10s/9=k s,kを求めると s=3/7,k=10/21 (B)にkを代入すれば OR↑=(11/21)a↑+(10/21)b↑ ←(3)の答え

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  • ferien
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>△OABにおいて、OA=3 OB=√3 cos∠AOB=-√3/3である。辺ABを1:2に内分する点をPとする。 >また、OAベクトル=aベクトル OBベクトル=bベクトルとする。 |a|=3,|b|=√3 …(1) >(1)内積aベクトル・bベクトルの値をもとめよ。 >また、OPベクトルをaベクトル bベクトルを用いてあらわせ。 a・b=|a||b|cos∠AOB=3×√3×(-√3/3)=-3…(2) AP:PB=1:2より、OP=(2/3)OA+(1/3)OB=(2/3)a+(1/3)b >(2)OQベクトル=tOPベクトル(tは実数)となる点Qをとる。AQ⊥OQとなるとき、 >tの値をもとめよ。 OQ=tOPより、 =(2/3)ta+(1/3)tb AQ=OQ-OA =(2/3)ta+(1/3)tb-a ={(2/3)t-1}a+(1/3)tb…(3) AQ・OQ =[{(2/3)t-1}a+(1/3)tb]・{(2/3)ta+(1/3)tb} ={(2/3)t-1}・(2/3)t|a|^2+{(2/3)t-1}・(1/3)t(a・b)   +(1/3)t・(2/3)t(a・b)+(1/3)t・(1/3)t|b|^2 (1)(2)を代入し、展開して整理すると =t(3t-5) =0 t≠0より、t=5/3 >(3直線OPに関して点Aと対称な点をCとする。)直線ABと直線OCとの交点をRとするとき >ORベクトルをaベクトル bベクトルを用いて表せ。 (2)より、QはOP上の点で、AQ⊥OQだから、AQ⊥OP  OPに関して点Aと対称な点をCとするだから、AC⊥OPだから、QをACの中点と考えると AC=2AQ  (3)にtの値を代入すると、AQ=(1/9)a+(5/9)bだから、 AC=(2/9)a+(10/9)b OC-OA=(2/9)a+(10/9)b OC=(2/9)a+(10/9)b+a =(11/9)a+(10/9)b ……(4) AR:RB=s:(1-s)とすると、 OR=(1-s)OA+sOB=(1-s)a+sb O、R,Cは一直線上にあるから、 OC=kORとおけるから、 OC=(1-s)ka+skb ……(5) (4)(5)を係数比較すると、 (1-s)k=11/9,sk=10/9 連立で解くと、k=7/3,s=10/21 よって、OR=(11/21)a+(10/21)b

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