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ベクトルの質問です。

△ＯABにおいて、ＯA=３　ＯB=√３　cos∠AOB=－√３/３である。辺ABを1：2に内分する点をＰとする。また、ＯAベクトル=aベクトル　ＯBベクトル=bベクトルとする。 （1）内積aベクトル・bベクトルの値をもとめよ。また、ＯＰベクトルをaベクトル　bベクトルを用いてあらわせ。 （2）ＯQベクトル=ｔＯＰベクトル（ｔは実数）となる点Qをとる。AQ⊥ＯQとなるとき、ｔの値をもとめよ。 （３直線ＯＰに関して点Aと対称な点をＣとする。）直線ABと直線ＯＣとの交点をＲとするとき ＯＲベクトルをaベクトル　bベクトルを用いて表せ。

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回答No.2

ベクトルを記号の後ろに↑をつけて表す。aベクトルなら　a↑と書くことにします。 図を添付するので参考にして下さい。 座標系をOを原点、OA↑をX軸に重なるようにとると a↑=(3,0), b↑=(-1,√2) となります。 (1) a↑・b↑=OA*OB*cos∠AOB=3√3*(-√3/3)=-3 OP↑=OA↑+(1/3)AB↑=a↑+(1/3)(b↑-a↑)=(2/3)a↑+(1/3)b↑ (2) (1)より OQ↑=tOP↑=(2t/3)a↑+(t/3)b↑ (t≠0) AQ↑=OQ↑-OA↑=(2t/3-1)a↑+(t/3)b↑ AQ⊥OQのとき　内積AQ↑・OQ↑=0より AQ↑・OQ↑=((2t/3-1)a↑+(t/3)b↑)・((2t/3)a↑+(t/3)b↑) =(2t/3)(2t/3-1)*3^2+(t/3)^2*(√3)^2+(t/3)((2t/3)+(2t/3-1))*(-3) =2t(2t-3)+(1/3)t^2-t(4t/3-1) =3t^2-5t=t(3t-5)=0 t≠0より　t=5/3 (3) t=5/3のときの AQ↑=((2t/3-1)a↑+(t/3)b↑)=(1/9)a↑+(5/9)b↑ OC↑=OA↑+2*AQ↑=a↑+(2/9)a↑+(10/9)b↑=(11/9)a↑+(10/9)b↑ OR↑=sOC↑とおくと OR↑=(11s/9)a↑+(10s/9)b↑　...(A) 一方 OR↑=OA↑+kAB↑=a↑+k(b↑-a↑)=(1-k)a↑+kb↑ ...(B) RはOCとABの交点であるから (A),(B)のOR↑は同一ベクトルなのでベクトルの係数も等しいから 11s/9=1-k, 10s/9=k s,kを求めると　s=3/7,k=10/21 (B)にkを代入すれば OR↑=(11/21)a↑+(10/21)b↑　←(3)の答え

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  • ferien
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回答No.1

＞△ＯABにおいて、ＯA=３　ＯB=√３　cos∠AOB=－√３/３である。辺ABを1：2に内分する点をＰとする。 ＞また、ＯAベクトル=aベクトル　ＯBベクトル=bベクトルとする。 ｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝√３　…（１） ＞（1）内積aベクトル・bベクトルの値をもとめよ。 ＞また、ＯＰベクトルをaベクトル　bベクトルを用いてあらわせ。 ａ・ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos∠AOB＝３×√３×（－√３/３）＝－３…（２） ＡＰ：ＰＢ＝１：２より、ＯＰ＝(2/3)ＯＡ＋(1/3)ＯＢ＝(2/3)ａ＋(1/3)ｂ ＞（2）ＯQベクトル=ｔＯＰベクトル（ｔは実数）となる点Qをとる。AQ⊥ＯQとなるとき、 ＞ｔの値をもとめよ。 ＯＱ＝ｔＯＰより、 ＝(2/3)ｔａ＋(1/3)ｔｂ ＡＱ＝ＯＱ－ＯＡ ＝(2/3)ｔａ＋(1/3)ｔｂ－ａ ＝｛(2/3)ｔ－１｝ａ＋(1/3)ｔｂ…（３） ＡＱ・ＯＱ ＝［｛(2/3)ｔ－１｝ａ＋(1/3)ｔｂ］・｛(2/3)ｔａ＋(1/3)ｔｂ｝ ＝｛(2/3)ｔ－１｝・(2/3)ｔ｜ａ｜^2＋｛(2/3)ｔ－１｝・(1/3)ｔ（ａ・ｂ） 　　＋（1/3)ｔ・(2/3)ｔ（ａ・ｂ）＋(1/3)ｔ・(1/3)ｔ｜ｂ｜^2 （１）（２）を代入し、展開して整理すると ＝ｔ（３ｔ－５） ＝０ ｔ≠０より、ｔ＝５／３ ＞（３直線ＯＰに関して点Aと対称な点をＣとする。）直線ABと直線ＯＣとの交点をＲとするとき ＞ＯＲベクトルをaベクトル　bベクトルを用いて表せ。 （２）より、ＱはＯＰ上の点で、ＡＱ⊥ＯＱだから、ＡＱ⊥ＯＰ　 ＯＰに関して点Aと対称な点をＣとするだから、ＡＣ⊥ＯＰだから、ＱをＡＣの中点と考えると ＡＣ＝２ＡＱ　 （３）にｔの値を代入すると、ＡＱ＝(1/9)ａ＋(5/9)ｂだから、 ＡＣ＝(2/9)ａ＋(10/9）ｂ ＯＣ－ＯＡ＝(2/9)ａ＋(10/9）ｂ ＯＣ＝(2/9)ａ＋(10/9）ｂ＋ａ ＝(11/9)ａ＋(10/9)ｂ　……（４） ＡＲ：ＲＢ＝ｓ：（１－ｓ）とすると、 ＯＲ＝（１－ｓ）ＯＡ＋ｓＯＢ＝（１－ｓ）ａ＋ｓｂ Ｏ、Ｒ，Ｃは一直線上にあるから、 ＯＣ＝ｋＯＲとおけるから、 ＯＣ＝（１－ｓ）ｋａ＋ｓｋｂ　……（５） （４）（５）を係数比較すると、 （１－ｓ）ｋ＝11/9，ｓｋ＝10/9 連立で解くと、ｋ＝7/3，ｓ＝10/21 よって、ＯＲ＝(11/21)ａ＋(10/21)ｂ

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