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ベクトルについて

△OABにおいてOA=a OB=bとする。OAを2:1に内分する点をP OBを3:2に内分する点をQ BPとAOの交点をRとする。 OA=5 OB=6 AB=9のとき線分ORの長さを求めよ。 お願いします。

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RはAQを(1 - s) : sに内分 RはBPを(1 - t) : tに内分 OR = OA + AR = a + (1 - s)AQ = a + (1 - s)(OQ - OA) = a + (1 - s)(OQ - a) = sa + 3(1 - s)b/5 ... (1) OR = OB + BR = b + (1 - t)BR = b + (1 - t)(OR - OB) = b + (1 - t)(OR - b) = 2(1 - t)a/3 + tb ... (2) (1)(2)より s = 2(1 - t)/3 ... (3) 3(1 - s)/5 = t ... (4) (3)(4)よりs = 4/9, t = 1/3 よってOR = 4a/9 + b/3より|OR|^2 = 16a^2/81 + 8a・b/27 + b^2/9 ... (5) △OABにおいて、余弦定理より、 9^2 = 5^2 + 6^2 - 2・5・6cos∠AOB 81 = 61 - 60cos∠AOB, cos∠AOB = -1/3よりa・b = 5・6・(-1/3) = -10 ... (6) |a| = 5, |b| = 6および(6)を(5)に代入して |OR|^2 = 16・25/81 - 80/27 + 4 = (400 - 240 + 324)/81 = 484/81 ∴OR = 22/9

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先ず、「BPとAOの交点をR」は、「BPとAQの交点をR」の誤りですね。 AQ=3b/5-a、BP=2a/3-b OR=a+mAQ(mは定数)と表せるので、 OR=a+m(3b/5-a)=(1-m)a+3mb/5-(1) 同様に、OR=b+nBP(nは定数)と表せるので、 OR=b+n(2a/3-b)=2na/3+(1-n)bー(2) 式(1)と(2)におけるaとbの係数は等しいので、 1-m=2n/3→3-3m=2n-(3) 3m/5=1-n→3m=5-5n-(4) 式(3)と(4)から、n=2/3 これを式(2)に代入すると、 OR=4a/9+b/3 |OR|^2 =(4a/9+b/3)・(4a/9+b/3) =(4/9)^2×5^2+2×4/9×1/3×(a・b)+(1/3)^2×6^2 =400/81+8/27×(a・b)+36/9 ここで、△OABにおいて余弦定理から、 cos∠AOB=-(9^2-5^2-6^2)/(2×5×6)=-(81-25-36)/60=-20/60=-1/3 よって、a・b=5×6×(-1/3)=-10 以上から、 |OR|^2=400/81+8/27×(-10)+36/9=400/81-240/81+324/81=484/81 →OR=22/9

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