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高校数学:ベクトル 至急解答解説をお願いします

問 三角形OABにおいて、辺ABを3:8に内分する点をP、線分OPを11:7に内分する点をKとする。 また、ベクトルOA=ベクトルa、ベクトルOB=ベクトルbとする。 (1)ベクトルOPを、ベクトルa、ベクトルbを用いて表せ。 また、ベクトルOKをベクトルa、ベクトルbを用いて表せ。 (2)辺OAの中点をM、辺OBの中点をNとする。 ベクトルKM⊥ベクトルOA かつ ベクトルKN⊥ベクトルOBであるとき、線分の長さの比OB/OAの値を求めよ。

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  • 回答No.3
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

(1)ベクトルOPを、ベクトルa、ベクトルbを用いて表せ。 >↑OP=↑a+(3/11)↑AB=↑a+(3/11)(↑b-↑a) =(8/11)↑a+(3/11)↑b・・・答 また、ベクトルOKをベクトルa、ベクトルbを用いて表せ。 >↑OK=(11/18)↑OP=(4/9)↑a+(1/6)↑b・・・答 (2)辺OAの中点をM、辺OBの中点をNとする。 ベクトルKM⊥ベクトルOA かつ ベクトルKN⊥ベクトルOBであるとき、線分の長さの比OB/OAの値を求めよ。 >↑KM=(1/2)↑a-↑OK=(1/2)↑a-(4/9)↑a-(1/6)↑b =(1/18)↑a-(1/6)↑b ↑KM・↑a={(1/18)↑a-(1/6)↑b}・↑a=(1/18)↑a・↑a -(1/6)↑b・↑a =(1/18)|↑a|^2 -(1/6)↑b・↑a=0、 線分OAの長さ=|↑a|=√(3*↑b・↑a) ↑KN=(1/2)↑b-↑OK=(1/2)↑b-(4/9)↑a-(1/6)↑b =(1/3)↑b-(4/9)↑a ↑KN・↑b={(1/3)↑b-(4/9)↑a}・↑b=(1/3)↑b・↑b-(4/9)↑a・↑b =(1/3)|↑b|^2-(4/9)↑a・↑b=0 線分OBの長さ=|↑b|=√{(4/3)↑a・↑b} よってOB/OA=√{(4/3)↑a・↑b}/√(3*↑b・↑a)=2/3・・・答

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質問者からのお礼

ありがとうございました。

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  • 回答No.2
  • info222_
  • ベストアンサー率61% (1053/1706)

(1) 辺ABを3:8に内分する点をP ↑OP=↑OA+↑AP=↑OA+↑AB*3/(3+8)  =↑a+(↑b-↑a)*3/11  =(1-(3/11))↑a+(3/11)↑b  =(8/11)↑a+(3/11)↑b or  =(8↑a+3↑b)/11 …(★) …(答) ↑OK=↑OP*11/(11+7) ←(★) 代入   ={(8↑a+3↑b)/11}*(11/18)   =(8↑a+3↑b)/18 or   =(4/9)↑a + (1/6)↑b …(答) (2) ↑KM=↑OM-↑OK  =(1/2)↑a-{(4/9)↑a + (1/6)↑b}  ={(1/2)-(4/9)}↑a-(1/6)↑b  =(1/18)↑a-(1/6)↑b ↑KM⊥↑OAより 内積(↑KM,↑OA)=(1/18)(↑a,↑a)-(1/6)(↑a,↑b)  =(1/18)a^2-(1/6)(↑a,↑b)=0 内積 (↑a,↑b)=abcosθ(θ=∠AOB)より  3abcosθ=a^2 題意よりa≠0と考えられるから  a=3bcosθ …(※1) ↑KN=↑ON-↑OK  =(1/2)↑b-{(4/9)↑a + (1/6)↑b}  ={(1/2)-(1/6)}↑b-(4/9)↑a  =(1/3)↑b-(4/9)↑a ↑KN⊥↑OBより 内積(↑KN,↑OB)=(1/3)(↑b,↑b)-(4/9)(↑a,↑b)  =(1/3) b^2-(4/9)abcosθ=0  4abcosθ=3b^2 題意より b≠0 と考えられるから  3b=4acosθ …(※2) a>0,b>0なので cosθ>0 …(※3) (※1) より  3b=12bcos^2θ b>0より  cos^2θ=1/4 (※3)より  cosθ=1/2 …(※4) (※1)より  b/a=1/(3cosθ)=2/3 …(答)

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質問者からのお礼

なるほど、この解法でも導けるんですね! ありがとうございました。

  • 回答No.1
  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)

ベクトル記号は省略します。 OP=OA+3AP/8   =OA+3(OB-OA)/8   =(3OB+5OA)/8   =(5a+3b)/8 OK=11OP/18   =11(5a+3b)/144 KM=OM-OK    =a/2-11(5a+3b)/144    =(17a-33b)/144 これとOAが垂直なので、両ベクトルの内積はゼロになる。つまり (17a・a-33a・b)/144=0 ・・・(1) KN=ON-OK   =b/2-11(5a+3b)/144   =(-55a+111b)/144 これとOBが垂直なので両ベクトルの内積はゼロになる。 つまり (-55a・b+111b・b)/144=0 ・・・(2) (1)*5-(2)*3をとると (85a・a-165a・b+165a・b-333b・b)/144=0 85a・a-333b・b=0 a・aやb・bはそれぞれのベクトルの大きさ、つまりOAやOBの 長さの二乗なので、 85|a|^2=333|b|^2 よって OB/OA=|b|/|a|       =√(85/333) 計算間違いがないといいのですが。考え方はこれでいいと思います。

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質問者からのお礼

ありがとうございました^^

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