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ベクトルの問題なのですが・・

三角形OABがあり、|OA|=√2、|OB|=√3、OA・OB=-3/2である。 また、辺ABの中点をM、辺OBを1:2に内分する点をNとし、Mから直線ANに下ろした 垂線の足をHとする。OA=a 、OB=bとする。 線分ABを直径とする円K上を動く点Pがある。三角形ANPの面積の最大値を求めよ。 また、そのときのOPをa,bで表せ。ベクトルは省略させていただきます。 円K上を動く点Pがある ってところがよくわかりません・・ 詳しく教えてもらえると嬉しいです!!

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まずHを求めましょう. HはAN上にあるから OH=(1-t)OA+tON=(1-t)a+tb/3 ∴MH=OH-OM=(1-t)a+tb/3-(a+b)/2 =(1/2-t)a+(t/3-1/2)b MH⊥ANより 0=MH・AN ={(1/2-t)a+(t/3-1/2)b}・(b/3-a) =(-1/2+t)|a|^2+(1/6-t/3-t/3+1/2)a・b+(t/9-1/6)|b|^2 =(-1+2t)+(-1+t)+(t/3-1/2)=10t/3-5/2 t=(5/2)(3/10)=3/4 (☆)HM=-MH=(a+b)/4 さて,PからANに下ろした垂線をPH'とすれば 三角形ANPの面積=|AN||PH'|/2 AN=b/3-a |AN|=√(|b|^2/9-2a・b/3+|a|^2) =√(1/3+1+2)=√(10/3)=√30/3 三角形ANPの面積=√30|PH'|/6 図形的にあきらからにH'=HのときかつPがANに関してM側の孤にあるとき|PH'|は最大になる.(図を描いてください) このとき,H,M,Pの順に一直線上に並び☆より MP=kHM=k(a+b)/4(k>0) とおける.Pは円K上にあるので |MP|=|AB|/2=|b-a|/2 よって |b-a|/2=k|a+b|/4 k=2|a-b|/|a+b|=2√(|a|^2-2a・b+|b|^2)/√(|a|^2+2a・b+|b|^2) =2√(2+3+3)/√(2-3+3)=4 ∴MP=a+b このとき PH=MH-MP=-(a+b)/4-(a+b)=-(5/4)(a+b) |PH|=(5/4)|a+b|=5√2/4 三角形ANPの面積の最大値 =√30|PH|/6=√30(5√2/4)/6=5√15/12(答) また OP=OM+MP=(a+b)/2+(a+b)=(3/2)(a+b)(答)

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>三角形OABがあり、|OA|=√2、|OB|=√3、OA・OB=-3/2である。 > また、辺ABの中点をM、辺OBを1:2に内分する点をNとし、Mから直線ANに下ろした > 垂線の足をHとする。OA=a 、OB=bとする。 > 線分ABを直径とする円K上を動く点Pがある。三角形ANPの面積の最大値を求めよ。 ABの長さを求めます。 cos∠AOB=OA・OB/|OA|・|OB|=(-3/2)/√2・√3=-√6/4 余弦定理より、 AB^2=OA^2+OB^2-2・OA・OB・cos∠AOB =2+3-2・√2・√3・(-√6/4) =8 より、AB=2√2 3辺がわかると図にかけるので、△OABと円Kを大体をかいて見てください。 ABを直径とする円がKなので、中心をKとすると、半径AK=√2 OA=AK=√2なので、△AKOは二等辺三角形です。(頂点をAと見るとOKは底辺) △ANPの面積が最大になるのは、 頂点をPと見たとき、底辺ANへ下した垂線の長さ(高さ)が最大のとき。 このとき、Pは円の中心Kを通り、ABに対して、Oの反対側にあります。 また、二等辺三角形AKOの底辺OKの延長線上にあります。 PからANに下した垂線の足をIとすると、O,I,K,Pはこの順に一直線上に並びます。 OK⊥ANだから、ANはOKの垂直二等分線。よって、OI=IK ……(1) KPは円の半径だから、KP=√2 ……(2) △ANPの面積の最大値を求めます。 OM=(1/2)OA=(1/2)a, ON=(1/3)OB=(1/3)b KはABの中点だから、OK=(1/2)OA+(1/2)OB=(1/2)a+(1/2)b (1)より、 OI=(1/2)OK=(1/2){(1/2)a+(1/2)b}=(1/4)a+(1/4)b ……(3) |OI|^2=(1/16)|a|^2+2・(1/4)・(1/4)・(a・b)+(1/16)|b|^2 =(1/16)・2+(2/16)・(-3/2)+(1/16)・3 =1/8 より、|OI|=√2/4  AN=ON-OA=(1/3)b-a |AN|^2=(1/9)|b|^2-2・(1/3)・(a・b)+|a|^2 =(1/9)・3-(2/3)・(-3/2)+2 =10/3 より、|AN|=√30/3 (1)より、IK=√2/4 (2)より、PI=IK+KP=(√2/4)+√2=5√2/4 より、 △ANPの面積の最大値=(1/2)・AN・PI =(1/2)・(√30/3)・(5√2/4) =5√15/12 > また、そのときのOPをa,bで表せ。ベクトルは省略させていただきます。 OI:IP=(√2/4):(5√2/4)=1:5 より、OI:OP=1:6  よって、(3)より、 OP=6OI=6{(1/4)a+(1/4)b}=(3/2)a+(3/2)b >円K上を動く点Pがある ってところがよくわかりません・・ 上の通り、図を描いてみてください。 (MH⊥ANの条件は使いませんでした。)

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