ベクトルの問題です

質問

ベクトルの問題です
四面体ABCDの内部に点Oをとり、α、β、γ、δをそれぞれ四面体OBCD、OCDA、ODAB、OABCの体積とするとき、次の等式を証明せよ。
αOA+βOB+γOC+δOD＝0　　（OA、OB、OC、OD、0はベクトル）

この問題がわかりません!!
解き方を教えてください
できれば外積を使って解いてください

よろしくおねがいします！！

回答No.1

OKXavier · ベストアンサー

↑OA=a,↑OB=b,↑OC=c,↑OD=dとおく。(矢線を省略)
「×」は外積の記号とし、(a×b,c)を(a,b,c)と書くことにする。

Oは四面体の内部の点だから、a,b,cは同一平面上にないので、
d={1/(a,b,c)}{(d,b,c)a+(d,c,a)b+(d,a,b)c}
と書ける。（ここは、自分で導いてみること）

したがって、
(a,b,c)d=(d,b,c)a+(d,c,a)b+(d,a,b)c
-(b,a,c)=(d,b,c)a+(d,c,a)b+(d,a,b)c
-δd=(αa+βb+γc)
∴　αa+βb+γc+δd=0

お礼

Oは四面体の内部の点だから、a,b,cは同一平面上にないので、
d={1/(a,b,c)}{(d,b,c)a+(d,c,a)b+(d,a,b)c}
と書ける。（ここは、自分で導いてみること）

といわれましても…外積を習っていない高校生にとっては難しいですね

ありがとうございました