ベクトル

質問

四面体ＡＢＣＤはＡＣ＝ＢＤ、ＡＤ＝ＢＣを満たし、点ＯはＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤを満たすものとする。
Ｏに関する点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、の位置ベクトルをそれぞれa↓,b↓,c↓,d↓,とする

（１）ベクトル(a－b)•(c＋d)＝０を証明せよ。
（２）ＡＢ，ＣＤの中点をそれぞれＭ、Ｎとするとき、ＭＮベクトルをa↓,b↓,c↓,d↓を用いて表せ。
（３）ＭＮとＡＢが直交することを証明せよ。

(1),(2)は分かるのですが、(3)の(d↓-a↓)•(c↓+d↓-a↓-b↓)/2の計算の仕方が分かりません。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

AB=d↓-a↓
ではなく
AB=b↓-a↓
なので
(d↓-a↓)・(c↓+d↓-a↓-b↓)/2
ではなく
(b↓-a↓)・(c↓+d↓-a↓-b↓)/2
です
ABはBAとしてよいから
(a↓-b↓)・(c↓+d↓-a↓-b↓)/2
↓↓を省略すると
=(a-b)・(c+d-a-b)/2
=(a-b)・{(c+d)/2-(a+b)/2}
=(a-b)・(c+d)/2-(a-b)・(a+b)/2
↓(1)(a-b)・(c+d)=0から
=-(a-b)・(a+b)/2
=-(|a|^2-|b|^2)/2
↓|a|=|b|だから
=0

回答No.2

info33

(1)
> (a－b)•(c＋d)＝０

(2)
MN↓=(c↓+d↓-a↓-b↓)/2

(3)
> (d↓-a↓)•(c↓+d↓-a↓-b↓)/2
これは AB↓•MN↓ のことだから
(b↓-a↓)•(c↓+d↓-a↓-b↓)/2
の間違いではないでしょうか?

AB↓•MN↓=(b↓-a↓)•(c↓+d↓-a↓-b↓)/2
={-(a↓-b↓)•(c↓+d↓)+(a↓-b↓)•(a↓+b↓)}/2
(1)より
=(-0+|a|^2-|b|^2)
=(|a|^2-|a|^2)
=0
内積がゼロだから, AB↓とMN↓は直交する。
∴ ABとMNは直交する。