• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

数学 空間ベクトルについて

数学 空間ベクトルの問題について 四面体OABCは OA=4 OB=5 OC=3 ∠AOB=90度、∠AOC=∠BOC=60度を満たしている。 (1)点Cから三角形OABに下ろした垂線と、三角形OABとの交点をHとする。 ベクトルCHをベクトルOA、ベクトルOB、ベクトルOCを用いてあらわせ。 (2)四面体OABCの体積を求めよ。 この二問なのですが解き方と解答がわからず困ってます。 なので途中式と解答をお願いします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数2
  • 閲覧数750
  • ありがとう数2

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

(1) CH↑=sOA↑+tOB↑+uOC↑ ...(A) とおくとCH↑⊥平面OABより CH↑・OA↑=sOA^2+uOA*OCcos60°=16s+6u=0 ...(B) CH↑・OB↑=t0B^2+uOB*OCcos60°=25t+15u/2=0 ...(C) OC↑+CH↑=OH↑=(a,b,0)とおくと a=b=OCcos60°=3/2 OC↑=(a,b,c)とおくと 3^2=a^2+b^2+c^2 c=√(9-(3/2)^2-(3/2)^2)=3√2/2 CH↑=sOA↑+tOB↑+uOC↑より  z成分:-c=uc ∴u=-1 (B),(C)より s=3/8, t=3/10 (A)より  CH↑=(3/8)OA↑+(3/10)OB↑-OC↑ (2) 四面体OABCの体積V =△OAB*CH/3=(1/2)OA*OB*CH/3=(1/2)4*5*(3√2/2)/3 =5√2  

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございました。 解答、途中式ともに完璧でした。 今回は一番解答が早かったのでinfo22さんがベストアンサーにしました。 ですがyyssaaさんも解答ありがとうございました。

その他の回答 (1)

  • 回答No.2
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

ベクトルを↑、内積を↑・↑で表します。 (1) > ↑CH=↑OH-↑OC、s,tを実数として↑OH=s↑OA+t↑OBとおくと、 ↑CH=s↑OA+t↑OB-↑OC、↑CH・s↑OA=0かつ↑CH・t↑OB=0だから ↑CH・s↑OA=(s↑OA+t↑OB-↑OC)・s↑OA=s^2|↑OA|^2-s↑OC・↑OA =16s^2-s|↑OC|*|↑OA|cos60°=16s^2-12s/2=16s^2-6s=0からs=3/8 ↑CH・t↑OB=(s↑OA+t↑OB-↑OC)・t↑OB=t^2|↑OB|^2-t↑OC・↑OB =25t^2-t|↑OC|*|↑OB|cos60°=25t^2-15t/2=0からt=3/10 よって、↑CH=(3/8)↑OA+(3/10)↑OB-↑OC・・・答 (2) >|↑CH|^2=↑CH・↑CH ={(3/8)↑OA+(3/10)↑OB-↑OC}・{(3/8)↑OA+(3/10)↑OB-↑OC} =(3/8)^2|↑OA|^2+(3/10)^2|↑OB|^2+|↑OC|^2 -2*(3/8)↑OA・↑OC-2*(3/10)↑OB・↑OC =16*(3/8)^2+25*(3/10)^2+9-2*(3/8)*12/2-2*(3/10)*15/2=9/2 △OABの面積=4*5/2=10 よって、四面体OABCの体積=(1/3)*10*√(9/2)=5√2・・・答

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございました。 回答、途中式ともに完璧でした。

関連するQ&A

  • 四面体 垂線の足

    四面体OABCは、OA=4、OB=5、OC=3、∠AOB=90°、∠AOC=∠BOC= 60°を満たす。 (1)点CAから△OABに下ろした垂線と△OABとの交点をHとする。ベクトル →CHを→OA、→OB、→OCを用いて表せ。 (2)四面体OABCの体積を求めよ。

  • 大学入試過去問(ベクトル)

    四面体OABCは、OA=4、OB=5、OC=3、∠AOB=90°、∠AOC=∠BOC=60°を満たしている。 (1)点Cから△OABに下ろした垂線と△OABとの交点をHとする。CH↑をOA↑、OB↑ 、OC↑を用いて表せ。 (2)四面体OABCの体積を求めよ。 大学入試の過去問ですが、解答がなく、答え合わせできなくて困っています。明日までに答え合わせして塾に提出しないといけないので早めにお願いします!

  • 数学B ベクトルがどうしても分かりません

    内積と空間図形の問題が面積のところまでしか分かりません!! どなたか解説をお願いします!! 問い) 四面体OABCにおいて、OA=3、OB=4、OC=5、∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°である。 三角形OBCの面積は(あ)√(い)、である。 OAベクトル=aベクトル、OBベクトル=bベクトル、OCベクトル=cベクトルとおく。 頂点Aから三角形OBCを含む平面に垂線AHを引く。 AHベクトル⊥bベクトル、AHベクトル⊥cベクトルであるから、 OHベクトル=(え分のう)bベクトル+(か分のお)cベクトルと表される。 よって、AHベクトルの大きさ=√(き)であるから、四面体OABCの体積は(く)√(け)である。

  • 空間ベクトル

    四面体OABCにおいて、∠AOB=∠AOC=60°、∠BOC=90°、OA=1とする。 頂点Oから平面ABCに下ろした垂線が、△ABCの重心Gを通るとき、辺OB,OCの長さを求めよ。 という問題です。 V(OG)=1/3{V(OA)+V(OB)+V(OC)} 点Gは平面ABC上の点より V(AG)=sV(AB)+tV(AC)とおける 整理して V(OG)=(1-s-t)V(OA)+sV(OB)+tV(OC) V(OA),V(OB),V(OC)}は1次独立より、係数比較から s=1/3,t=1/3 ∴V(AG)=1/3{V(AB)+V(AC)} としましたが、辺OB,OCの長さには行き着きそうもありません。 どなたか教えて下さい。

  • 【至急】空間ベクトルの問題

    明日までの宿題なのですが、答えが分からず不安です 解答(解法)を書いて頂けると助かります・・・! どうぞよろしくおねがいします<m(__)m> 四面体OABCがあり、 OA=OC=AC=1, OB=2, BC=√3, ∠AOB=90° である。 また、三角形OABを含む平面をαとし、 点Cを通りαに垂直な直線とαの交点をHとする。 さらに、OAベクトル=aベクトル, OBベクトル=bベクトル, OCベクトル=cベクトル とする。 (1)内積 aベクトル・bベクトル 、bベクトル・cベクトル、 cベクトル・aベクトル の値を求めよ。 (2)OHベクトルをaベクトル、bベクトルを用いて表せ。また、線分CHの長さを求めよ。

  • 高校数学の空間ベクトルについて

    四面体OABC. OA=3,OB=2,OC=2, OA=a→,OB=b→,OC=c→ とする。 また、∠AOB=∠BOC=∠COA=60°とする。 AB上を3:2に内分する点をDとする。 (1) このときのcos∠DOCのΘを求めよ。 (2) OD→、AC→のなす角をΘとするとき、cosΘの値を求めよ。 この2点の求め方を教えてください。 (1)の答えは3√7/14です。(2)は忘れてしまいました。 見にくい点などあれば、ご指摘お願いします。

  • 空間ベクトル(三角形の面積)

    「四面体OABCにおいてOA=3、OB=2、OC=1、∠AOB=∠BOC=∠COA=60°とし、線分ABを2:1に内分する点をP、線分PCの中点をQとおく。このとき、OQ→(の絶対値)を求めよ。また、三角形APQの面積を求めよ」 という問題です。 OQ→=1/6OA→+1/3OB→+1/2OC→と出たのですが(自信なし)この絶対値を求めるにはこれ全体を2乗すればいいのだと思い、計算したところ√67/6という数字になりました。 三角形APQの面積はどのようにして出せばいいのでしょうか?教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

  • 空間ベクトル

    高1です 数学の質問があります。 四面体OABCがOA=1、OB=2、OC=3、 ∠AOB=60゜、∠BOC=60゜、∠COA=90゜ を満たしている。 △ABCの重心をGとするとき OGの長さを答えよ。 という問題の解き方を 教えてください。

  • 数学の空間ベクトルです。教えてください

    空間で四面体OABCを考え ベクトルOA=a OB=b OC= cとおく。 (1)Pを3点A,B,Cを通る平面状の点とする。このときOPはs+t+u=1 を満たす次数s,t,uを用いて OP=sa+tb+ucと表されることを示せ。 (2)以上6辺OA,OB,OC,AB,BC,CAの長さをそれぞれ√10,4,2,6,2√7,4とする。内積a・b b・c c・aの値を求めよ (3)3点A,B,Cを通る平面に点O殻下ろした垂線の足をHとする。 ベクトルOH=xa+yb+zcを満たす実数x,y,zを求めよ

  • 空間ベクトル

    四面体OABCにおいて、OA=3,OB=2,OC=2 ∠AOB=∠BOC=∠COA=60°とする。辺OA上に点PをOP:PA=2:1となるようにとる。 また、点QをOQ↑=(OB↑+OC↑)/3によって定める。 (1)内積PQ↑・BO↑、PQ↑・OC↑の値を求めよ。 PQ↑・BO↑=1、PQ↑・OC↑=1 (2) 線分PQの長さを求めよ。 (2√6)/3 (3)点Pを中心とし、半径√6/3の球面状を点Rが動く時、四面体BCQRの体積の取りうる範囲を求めよ。 (1)(2)はあってますか?また、(3)を教えてください。