四面体 垂線の足

質問

四面体ＯＡＢＣは、ＯＡ＝４、ＯＢ＝５、ＯＣ＝３、∠ＡＯＢ＝９０°、∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ＝
６０°を満たす。
(１)点ＣＡから△ＯＡＢに下ろした垂線と△ＯＡＢとの交点をＨとする。ベクトル
→ＣＨを→ＯＡ、→ＯＢ、→ＯＣを用いて表せ。
(２)四面体ＯＡＢＣの体積を求めよ。

回答No.2

fukuroumine · ベストアンサー

(1)
(→CH)=p(→OA) +q(→OB) +r(→OC) とする。
(→CH)⊥(→0A)により、
　｛p(→OA) +q(→OB) +r(→OC)｝・(→OA)
　 =p(→OA)・(→OA) +q(→OB)・(→OA) +r(→OC)・(→OA)
　 =16p +6r
　 =0
　よって、p =-3/8 r
(→CH)⊥(→0B)により、
　｛p(→OA) +q(→OB) +r(→OC)｝・(→OB)
　 =p(→OA)・(→OB) +q(→OB)・(→OB) +r(→OC)・(→OB)
　 =25q +15/2 r
　 =0
　よって、q =-3/10 r
(→C) +(→CH)は平面OAB上にあるから、
(→C) +(→CH) =(→C) -3/8 r(→OA) -3/10 r(→OB) +r(→OC)
　 =-3/8 r(→OA) -3/10 r(→OB) +(r +1)(→OC)
において、r +1 =0
よって、r =-1
(→CH)=3/8 (→OA) +3/10 (→OB) -(→OC)

(2)
CH^2 ={3/8 (→OA) +3/10 (→OB) -(→OC)}・{3/8 (→OA) +3/10 (→OB) -(→OC)}
　 =9/64 16 +9/100 25 +9 -3/4 6 -3/5 15/2
　 =9/4 +9/4 +9 -9/2 -9/2
　 =9/2
よって、垂線CHは3√(2)/2
△OABの面積は∠AOB=90°だから10
よって、三角錐の体積は、10*3√(2)/2*1/3 =5√(2)

お礼

とても詳しく解説してくださってありがとうございます。解法の流れ、ポイントがとてもよく分かったような気がします。とても感謝しています。

回答No.3

naniwacchi

#1です。
#2さんが丁寧に書かれていますが、少し違うアプローチもあるのでそのあたりを中心に。

＞a) 3点O, A, Bを通る平面上の点であり、
＞ひとまず「OH→が OA→と OB→を用いて」
ここで OH→＝ α・OA→+ β・OB→　（α,βは実数）と置けば、
点Hが平面上にあることを表すことができます。

そして、CH→＝ CO→+ OH→であることから、
CH→＝ CO→+ α・OA→+ β・OB→＝ α・OA→+ β・OB→- OC→

と表されることになります。
あとは、次の条件 b)からαとβを求めます。

＞b) CH→は、その平面に垂直である。
OA→、OB→のそれぞれと直交するということから、
CH→・OA→＝ 0
CH→・OB→＝ 0

の 2式が与えられ、αとβが求まります。

(2)は、CH→の大きさがきちんと計算できれば、難しくないですよね。

お礼

ご解説どうもありがとうございます。先に→ＯＨをα、βで規定してから、垂直条件を使えば変数が一つ少なくて済み、計算も楽になることが分かりました。今後は活用するようにしたいです。どうもありがとうございました。

回答No.1

naniwacchi

点Hは、次の条件を満たしている点になります。
a) 3点O, A, Bを通る平面上の点であり、
b) CH→は、その平面に垂直である。

a)については、ひとまず「OH→が OA→と OB→を用いて」どのように表されるかを考えます。
その後、b)を満たすための条件を考えます。

CHが「高さ」になることを意識すれば、
|CH→|を求めることで四面体の体積が求められることはわかると思います。

補足

早速ご指導有り難うございます。考え方は何となく分かるような気がしますが、具体的にどのように式に書いて、求めていけばよいのか、よく分かりません。さらに詳しく教えていただければ大変ありがたいのですが。どうかよろしくお願いします。