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数学のベクトルの問題です。

Oを頂点とし、平行四辺形ABCDを底面とする四角錐O-ABCDがある。 辺OAの中点をP、辺OBを2:1に内分する点をQとし、直線OC上にOR=kOC となる点Rをとる。ただし、Kは実数の定数である。(ベクトルは省略させてください) (1)直線DQと直線PRが交わるとき、Kの値を求めよ。 (2)直線ODと平面PQRが平行であるとき、Kの値を求めよ。

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  • 回答No.3
  • ferien
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>Oを頂点とし、平行四辺形ABCDを底面とする四角錐O-ABCDがある。 > 辺OAの中点をP、辺OBを2:1に内分する点をQとし、直線OC上にOR=kOC > となる点Rをとる。ただし、Kは実数の定数である。(ベクトルは省略させてください) OP=(1/2)OA,OQ=(2/3)OB,OR=kOC 平行四辺形ABCDだから、AB=DCより、OB-OA=OC-OD だから、OD=OA+OC-OB >(1)直線DQと直線PRが交わるとき、Kの値を求めよ。 DQとPRの交点をEとする。 △OACで、PE:ER=s:1-sとすると、 OE=(1-s)OP+sOR=(1-s)・(1/2)OA+s・kOC =(1/2)(1-s)OA+ksOC ……(1) △OBDで、QE:ED=t:1-tとすると、 OE=(1-t)OQ+tOD=(1-t)・(2/3)OB+tOD =(2/3)(1-t)OB+t(OA+OC-OB) =tOA+{(2/3)-(5/3)t}OB+tOC ……(2) (1)(2)より、係数比較すると、 (1/2)-(1/2)s=t,(2/3)-(5/3)t=0,ks=t 連立で解くと、 t=2/5,s=1/5,k=2 よって、k=2 >(2)直線ODと平面PQRが平行であるとき、Kの値を求めよ。 平面PQRから、P,Q,Rは一直線上にないから、Rは直線PQ上にない。 直線PQ上の1点をFとすると、 直線RFは、平面PQR上の直線だから、直線RFが直線ODと平行であれば、 直線ODと平面PQRは平行である。 RF=mODとおくと、 OF-OR=m(OA+OC-OB) OF=kOC+mOA+mOC-mOB =mOA-mOB+(k+m)OC ……(3) 点Fは、直線PQ上の点だから、 PF:FQ=n:1-nとすると、 OF=(1-n)OP+nOQ=(1-n)・(1/2)OA+n・(2/3)OB =(1/2)(1-n)OA+(2/3)nOB ……(4) (3)(4)より、係数比較すると、 m=(1/2)-(1/2)n,-m=(2/3)n,k+m=0 連立で解くと、 m=2,n=-3,k=-2 よって、k=-2 でどうでしょうか? 確認してみてください。

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質問者からのお礼

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  • 回答No.2
  • yyssaa
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(1)直線DQと直線PRが交わるとき、Kの値を求めよ。 >ベクトルを↑で表し、↑OA=↑a、↑OB=↑b、↑OC=↑c、↑OD=↑d とします。 ↑PR=↑OR-↑OP=k↑c-(1/2)↑a ↑QD=↑OD-↑OQ=↑d-(2/3)↑b 直線DQと直線PRが交わるなら、4点P、Q、R、Dは同一平面上にある ので、s、tを実数定数として、↑PQ=s↑PR+t↑QDが成り立つ。 ↑PQ=↑OQ-↑OP=(2/3)↑b-(1/2)↑aだから (2/3)↑b-(1/2)↑a=s↑PR+t↑QD=sk↑c-(s/2)↑a+t↑d-(2t/3)↑b 整理して、 (1-s/2)↑a-(2/3)*(t+1)↑b+sk↑c+t↑d=0・・・・・(ア) ↑AB=↑b-↑a、↑DC=↑c-↑d、平行四辺形ABCDだから、↑AB=↑DC、 よって、↑b-↑a=↑c-↑d、↑d=↑a-↑b+↑c・・・・・(イ) (イ)を(ア)に代入、整理 (1-s/2+t)↑a-{(5/3)t+(2/3)}↑b+(sk+t)↑c=0・・・・・(ウ) ↑a、↑b、↑cは互いに一次独立なので、(ウ)が成り立つためには (1-s/2+t)=0、(5/3)t+(2/3)=0、sk+t=0が成り立つ必要がある。 よって、t=-2/5、s=6/5、k=-t/s=1/3・・・答 (2)直線ODと平面PQRが平行であるとき、Kの値を求めよ。 >直線ODと平面PQRが平行であれば、u、vを実数定数として ↑d=u↑PQ+v↑QRが成り立つ。↑QR=↑OR-↑OQ=k↑c-(2/3)↑b ↑d=(2u/3)↑b-(u/2)↑a+vk↑c-(2v/3)↑b、(イ)を代入、整理 (1+u/2)↑a-(1+2u/3-2v/3)↑b+(1-vk)↑c=0 ↑a、↑b、↑cは互いに一次独立なので、 1+u/2=0、1+2u/3-2v/3=0、1-vk=0 u=-2、v=-1/2、k=1/v=-2・・・答

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  • 回答No.1

完解すると勉強にならないと思いますので、誘導・解法方針説明を中心に書きます。 まず、頂点Oから見るものとし、立体なので3本のベクトルを選んで全てを記述することにします。ここでは仮に、ベクトルOA,OB,OCを使うこととしましょう。 ベクトルOD,OP,OQ,ORはOA,OB,OCを用いて簡単に表せますよね(図を書いて計算してみてください)。 これが準備です。 (1) これまでの準備を用いて、計算過程だけ示します。 1.ベクトルDQとベクトルPRをOA,OB,OCを用いて表現します。 2.直線DQとPRが交わることから、定数i,jを用いてOD+iDQ=OP+jPRという関係が得られます。これをOA,OB,OCだけで表しましょう。 3.OA,OB,OCは線形独立ですので、左辺/右辺の(OA,OB,OC)の各係数は等しくならなければなりません。これによってi,j,kに関する連立方程式が得られるはずです。 4.この連立方程式をとけばkの値が得られます。 (2) 平面PQR上の任意のベクトルは、ベクトルPQとベクトルPRの線形結合によって表されます。これがベクトルODと同じになれば良いのです。 1.OD=sPQ+tPRとします。 2.OD,PQ,PRをOA,OB,OCだけで表しましょう。 3.やはり連立方程式ができますので、これをとけばs,t,kが定まりますね。 以上でいかがでしょうか。

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