ベクトルと図形についてです。

質問

ベクトルと図形についてです。
平行四辺形ABCDにおいて、辺CDを2:1に内分する点をE、対角線BDを3:1に内分する点をPとする。3点A、P、Eは一直線上にあることを証明せよ。

教科書を読んでもいまいち分からないので詳しい解答教えてください。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

２点 F, G の位置ベクトルを f, g とすると、
線分 FG を s : t に内分する点の位置ベクトルは
{ t / (s + t) } f + { s / (s + t) } g です。
これが、内分点の公式。
たいへん重要ですから、何故そうなるのかを
教科書で確認の上、頭に叩き込んでおきましょう。

A, B, C, D, E, P の位置ベクトルを a, b, c, d, e, p と置くと、
内分点の公式から、
e = (1/3)c + (2/3)d,
p = (1/4)b + (3/4)d となります。

また、四角形 ABCD が平行四辺形であることから、
→AB = →DC すなわち b - a = c - d が成り立ちます。

これらを使って、P が AE の内分点であることを
表す式を作れば完了。
p = { t / (s + t) } a + { s / (s + t) } e となる
s, t を見つければよいのです。
x = t / (s + t) と置いて、
p = x a + (1 - x) e を満たす解 x が在ることを
示してもよいでしょう。

p = x a + (1 - x) e の式から、p, a, e を代入消去すれば、
b, c, d が一次独立であることから、x が求まります。
ちなみに、x = 1/4 です。

回答No.1

nag0720

ベクトルAEとベクトルAPを、ベクトルABとベクトルADを使って表すとどうなるか。

もう一度教科書をよく読んでみましょう。